2013学年第一学期高三期末测试

文科数学　参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分）

1．A； 2．D； 3．A； 4．B； 5．C；

6．D； 7．C； 8．A； 9．B； 10．B．

二、填空题（本大题共7小题，每题4分，共28分）

11．4； 12．4或-2； 13．
； 14．
；

15．
； 16．
； 17．
；

三、解答题（本大题共5小题,共72分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

18．（本题14分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足
.

（Ⅰ）求角A；

（Ⅱ）若
，
，D为BC上一点，且
,求AD的长.

解：（Ⅰ） ∵在△ABC中，满足

由正弦定理可得
， ┅3分

故
； ┅5分

∵在△ABC中
∴
┅7分

（Ⅱ）由题意可得
， ┅9分

┅10分

∴
┅13分

从而可得
┅14分

19．（本题14分）已知等差数列
的公差大于0,
,
是方程
的两根．

(Ⅰ)求数列
的通项公式；

（Ⅱ）记
,求数列
的前n项和
.

解(Ⅰ)∵
，
是方程
的两根，且数列
的公差
，

∴
，
， ┅2分

故
，可求得
┅4分

∴
┅6分

（Ⅱ）∵
┅8分

∴
┅9分

∵
┅11分

┅13分

∴数列
的前n项和为
┅14分

20．（本题15分）如图，四棱锥P—ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，AC与BD相交于点O，
，点E在棱PB上.

（Ⅰ）求证：平面AEC⊥平面PDB；

（Ⅱ）当E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小；

（Ⅲ）当
时，求
的值.

解（Ⅰ）∵ABCD为正方形， AC⊥BD，

又∵PD⊥底面ABCD，AC平面ABCD，

∴AC⊥PD ┅2分

而BD与PD是平面PBD内两相交直线， ∴AC⊥平面PBD ┅3分

而AC平面AEC， ∴平面AEC⊥平面PDB ┅5分

（Ⅱ）∵AC⊥平面PBD ∴AE在平面PDB内的射影为OE，

故∠AEO即为AE与平面PDB所成的角，且∠AOE为直角 ┅7分

令AB=1，则
， ∵E为PB的中点， ∴
，

∴ △AOE为等腰直角三角形， ┅9分

∴∠AEO=
， 即AE与平面PDB所成的角为
┅10分

（Ⅲ）由于AC⊥平面PBD， PO平面PBD， ∴AC⊥PO

当PO⊥AE时，我们有PO⊥平面AEC，从而可得PO⊥OE ┅12分

我们研究△PDB，

∴

∴
，而
，

，故
，
， ┅14分

从而
┅15分

21．（本题14分）已知
且
，函数
，

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）设
为函数
在区间
上的最小值，求
的解析式.

解（Ⅰ）∵
，

∴
┅1分

令
解得
，
┅3分

∵
， ∴

函数
的单调递增区间为
，
，递减区间为
┅5分

（Ⅱ）由（1）可知函数
的单调递增区间为
，
，递减区间为

①当
，即
时，
┅7分

②当
，即
时，
，

此时
┅8分

令
，解得
，故当
时，

┅10分

令
，解得
，故当
时，

┅12分

综合①②可得：
┅14分

22．（本题15分）

已知抛物线
的焦点为，是抛物线上异于原点的任一点，直线
与抛物线的另一交点为
．设l是过点的抛物线的切线，l与直线
和轴的交点分别为A、B，

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）过B作
于，若
，求
．

解：（Ⅰ）设
，则过的切线方程为：
， ┅2分

得的坐标
，又
，

所以
，
， ┅4分

所以
， ┅6分

所以
； ┅7分

（Ⅱ）分别过、作直线
的垂线，垂足为、，

因为
，所以
，

因为
，所以
， ┅9分

设直线
的方程为
，代入
得
，

所以
，所以
，所以
， ┅11分

，
，所以
，

由
得
，得
，得
， ┅14分

所以
． ┅15分