2014年深圳市高三年级第一次调研考试

数学(理科)答案及评分标准

说明：

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．

一、选择题：本大题每小题5分，满分40分．

1

2

3

4

5

6

7

8



C

 B

D

A

D

C

B

A



二、填空题：本大题每小题5分，满分30分．

9．
； 10．
； 11．
； 12．
；

13．
；　 14．；　 15．
．

三、解答题

16．（本小题满分12分）

已知函数
的图像经过点
．

（1）求的值；

（2）在
中，
、
、
所对的边分别为、、，若
，且
．求
．

解：（1）由题意可得
，即
． ……………………………2分

，
，
，

． ……………………………………………………………5分

（2）
，

， ……………………………………………………7分

． …………………………………………8分

由（1）知
，

．

，
， ……………………………10分

又
，

．……………12分

【说明】 本小题主要考查了三角函数
的图象与性质，三角恒等变换，以及余弦定理等基础知识，考查了简单的数学运算能力．

17．（本小题满分12分）

某网络营销部门为了统计某市网友2013年11月11日在某淘宝店的网购情况，随机抽查了该市当天
名网友的网购金额情况，得到如下数据统计表（如图5（1））：

若网购金额超过千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过千元的顾客定

义为“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为
．

（1）试确定，，，的值，并补全频率分布直方图（如图5(2)）．

（2）该营销部门为了进一步了解这
名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购

达人”中用分层抽样的方法确定人，若需从这人中随机选取人进行问卷调查．设
为选取的人中“网购达人”的人数，求
的分布列和数学期望．

解：（1）根据题意，有

解得
…………………2分

，
．

补全频率分布直方图如图所示． ………4分

（2）用分层抽样的方法，从中选取
人，则

其中“网购达人”有
人，“非网购达人”有
人． …………………6分

故
的可能取值为0，1，2，3；

，
，

，
．…………………………10分

所以
的分布列为：
























． ……………………12分

【说明】本题主要考察读图表、分层抽样、概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力．

18．（本小题满分14分）

如图6所示，平面
平面
，且四边形
为矩形，四边形
为直角梯形，
，
，
，
．

（1）求证
平面
；

（2）求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值；

（3）求直线
与平面
所成角的余弦值．

解：（法一）（1）取
中点为
，连接
、
，

且
，

，则
且
． …………2分

四边形
为矩形，
且
，

且
，

，则
．

平面
，
平面
，

平面
． ……………………………………………………4分

（2）过点作
的平行线交
的延长线

于，连接
，
，
，

，

，，，四点共面．

四边形
为直角梯形，四边形
为矩形，

，
，又
，

平面
，
，

又平面

平面
，

为平面
与平面
所成锐二面角的平面角．……………………7分

，
．

即平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
． ……………………9分

（3）过点作
于，连接
，

根据（2）知，，，四点共面，
，

，
，

又
，
平面
，

，则
．

又
，
平面
．

直线
与平面
所成角为
． ……………………………11分

，
，

，
，
，

．

即直线
与平面
所成角的余弦值为
． ……………………………14分

（法二）（1）四边形
为直角梯形，四边形
为矩形，

，
，

又平面
平面
，且

平面

平面
，

平面
．

以
为原点，
所在直线为轴，
所在直线为轴，

所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系．

根据题意我们可得以下点的坐标：

，
，
，
，
，
， 则
，
． ………………2分

，
，
为平面
的一个法向量．

又
，

平面
． …………………………………………………………4分

（2）设平面
的一个法向量为
，则

，
，

， 取
，得
． ……………………………6分

平面
，

平面
一个法向量为
，

设平面
与平面
所成锐二面角的大小为，

则
．

因此，平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
． …………………9分

（3）根据（2）知平面
一个法向量为
，

，
，………12分

设直线
与平面
所成角为
，则
．

因此，直线
与平面
所成角的余弦值为
． ………………………14分

【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角及三角函数及空间坐标系等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力．

19． （本小题满分14分）

已知数列
的前项和为
，且满足
．

（1）求
，
的值；

（2）求
；

（3）设
，数列
的前项和为
，求证：
．

解：（1）当
时，有
，解得
．

当
时，有
，解得
．……………2分

（2）（法一）当
时，有
, ……………①

． …………………②

①—②得：
，即：
．…………5分

．

． ………………………………………8分

另解：
．

又当
时，有
，
． …………………………8分

（法二）根据
，
，猜想：
． ………………………………3分

用数学归纳法证明如下：

（Ⅰ）当
时，有
，猜想成立．

（Ⅱ）假设当
时，猜想也成立，即：
．

那么当
时，有
，

即：
，………………………①

又
， …………………………②

①-②得：
，

解，得
．

当
时，猜想也成立．

因此，由数学归纳法证得
成立．………………………………………8分

（3）
， ……………………………10分

． ………………………………………14分

【说明】考查了递推数列的通项公式、数列裂项求和公式、放缩法证明不等式等知识，考查了学生的运算能力，以及化归与转化的思想．

20．（本小题满分14分）

如图7，直线
，抛物线
，已知点
在抛

物线
上，且抛物线
上的点到直线
的距离的最小值为
．

（1）求直线
及抛物线
的方程；

（2）过点
的任一直线（不经过点）与抛物线
交于、两点，直线
与直线
相交于点
，记直线
，
，
的斜率分别为
，
，
．问：是否存在实数
，使得
？若存在，试求出
的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）（法一）点
在抛物线
上，
． ……………………2分

设与直线
平行且与抛物线
相切的直线
方程为
，

由
得
，

，

由
，得
，则直线
方程为
．

两直线
、
间的距离即为抛物线
上的点到直线
的最短距离，

有
，解得
或
（舍去）．

直线
的方程为
，抛物线
的方程为
． …………………………6分

（法二）点
在抛物线
上，
，抛物线
的方程为
．……2分

设
为抛物线
上的任意一点，点
到直线
的距离为
，根据图象，有
，
，

，
的最小值为
，由
，解得
．

因此，直线
的方程为
，抛物线
的方程为
．…………………6分

（2）直线
的斜率存在，设直线
的方程为
，即
，

由
得
，

设点、的坐标分别为
、
，则
，
，

，
， …………………………9分

.…10分

由
得
，
，

， ……………………………………………13分

．

因此，存在实数
，使得
成立，且
．…………………………14分

【说明】本题主要考查抛物线的方程与性质、直线方程、直线与抛物线的位置关系，切

线方程，点到直线距离，最值问题等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．

21． （本小题满分14分）

已知函数
．

（1）求
在
上的最大值；

（2）若直线
为曲线
的切线，求实数的值；

（3）当
时，设
，且
，若不等式
恒成立，求实数的最小值．

解：（1）
，…………………………2分

令
，解得
（负值舍去），

由
，解得
．

（ⅰ）当
时，由
，得
，

在
上的最大值为
．…………………………………3分

（ⅱ）当
时，由
，得
，

在
上的最大值为
．……………………………………4分

（ⅲ）当
时，在
时，
，在
时，
，

在
上的最大值为
．…………………………………5分

（2）设切点为
，则
……………………………6分

由
，有
，化简得
，

即
或
， ……………………………①

由
，有
，……………②

由①、②解得
或
． ……………………………………………9分

（3）当
时，
，

由（2）的结论直线
为曲线
的切线，

，点
在直线
上，

根据图像分析，曲线
在直线
下方． …………………………10分

下面给出证明：当
时，
．

，

当
时，
，即
．………………………12分

，

，
．

要使不等式
恒成立，必须
．……………13分

又当
时，满足条件
，

且
，

因此，
的最小值为
． …………………………………………………14分

【说明】本题主要考查函数的性质、导数运算法则、导数的几何意义及其应用、不等式的求解与证明、恒成立问题，考查学生的分类讨论，计算推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意识．