绝密★启用前 试卷类型：A

湛江市2014年普通高考测试题（一）

数学（文科）

本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上。用2B铅笔

将答题卡试卷类型（A）填涂在答题卡上。在答题卡右上角“试室号”和“座位号”栏填写试室号、

座位号，将相应的试室号、座位号信息点涂黑。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4.考试结束后，将试题与答题卡一并交回。

参考公式：

锥体的体积公式：
，其中S是底面面积，h是高。

n个数据
的平均数是
，这组数据的方差
由以下公式计算：

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．复数
的共轭复数是

A．
B．
C．
D．

2．设函数
的定义域为A，值域为B，则
=

A．
B．
C．
D．

3．“
”是“
”的

A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

4．通过某雷达测速点的机动车的时速频率分布直方图如图

所示，则通过该测速点的机动车的时速超过60的概率是

A．0.038 B．0.38

C．0.028 D．0.28

5．等差数列
中，
，则

A．8 B．12 C．16 D．24

6．运行如图的程序框图，若输出的结果是
，则判断框中可填入

A．
B．
C．
D．

7．如下图所示的几何体，其俯视图正确的是

8．在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=7，则∠BAC=

A．
B．
C．
D．

9．若曲线
的一条切线
与直线
垂直，则
的方程为

A．
B．
C．
D．

10．将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点
与点
重合，

则与点
重合的点是

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分．

（一）必做题（11～13题）

11．双曲线
的焦点坐标是_____________ 。

12．不等式
的解集是 ．

13．若关于
的不等式组
表示的平面区域是一个三角形，则
的取值范围是 ．

（二）选做题（14—15题，考生只能从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）

已知曲线
的参数方程是
．（
为参数），以坐标原点O为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线
的极坐标方程为
，则在曲线
上到直线
的距离为
的点有_____________个。

15．（几何证明选讲选做题）

如图，⊙O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=3，CD是⊙O的切

线，BD⊥CD于D,则CD= ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知函数
．

的部分图象如图所示，其中点P是图象的一个最高点。

(1) 求函数
的解析式；

(2) 已知
且
，求
．

17．（本小题满分12分）

汽车是碳排放量比较大的行业之一，某地规定，从2014年开始，将对二氧化碳排放量超过130g/km的轻型汽车进行惩罚性征税。检测单位对甲、乙两品牌轻型汽车各抽取5辆进行二氧化碳排放量检测，记录如下（单位：g/km）。

经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为
。

(1) 从被检测的5辆甲品牌轻型汽车中任取2辆，则至少有一辆二氧化碳排放量超过
的概率是多少？

(2) 求表中
的值，并比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性。

18．（本小题满分14分）

如图，在三棱锥
中，△PAB和△CAB都是以AB为斜边的等腰直角三角形，D、

E、F分别是PC、AC、BC的中点。．

(1) 证明：平面DEF//平面PAB；

(2) 证明：


；

(3) 若
，求三棱锥
的体积．

19．（本小题满分14分）

在正项等比数列
中，公比
，
且
和
的等比中项是2．

(1) 求数列
的通项公式；

(2) 若
，判断数列
的前
项和
是否存在最大值，若存在，求出使
最大时
的值；若不存在，请说明理由。

20．（本小题满分14分）

已知顶点为原点O的抛物线
的焦点
与椭圆
的右焦点重合

与
在第一和第四象限的交点分别为A、B．

(1) 若△AOB是边长为
的正三角形，求抛物线
的方程；

(2)若
，求椭圆
的离心率
；

(3) 点
为椭圆
上的任一点，若直线
、
分别与
轴交于点
和
，证明：

．

21．（本小题满分14分）

已知
．

(1) 若
存在单调递减区间，求实数
的取值范围；

(2) 若
,求证：当
时，
恒成立；

(3) 利用（2）的结论证明：若
，则
。

湛江市2014年普通高考测试题（一）

数学(文科)参考答案及评分意见

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1.B 2.D 3.B 4.B 5.C 6.B 7.C 8.C 9.A 10.A

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

11.
12.
13.
14.3 15.

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

16. （本小题满分12分）

解：(1)由函数最大值为2 ，得A=2 。……………………………………………………….1分

由图可得周期
，……………………………………………………….2分

由
，得
。 ……………………………………………………….3分

又
，及
，…………………………………………….4分

得
。 ……………………………………………………….5分

。 ……………………………………………………….6分

（2）
，…………………….8分

，………………………………….10分

． ……………………………………………………….12分

17. （本小题满分12分）

解：（1）从被检测的5辆甲品牌的轻型汽车中任取2辆，共有10种不同的二氧化碳排放量结果：

（80，110），（80，120），（80，140），（80，150），（110，120），（110，140），（110，150），

（120，140），（120，150），（140，150）。 …………………………………………………. 2分

设“至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km”为事件A，则事件A包含以下7种不同的结果：

（80，140），（80，150），（110，140），（110，150），（120，140），（120，150），（140，150）

∴
。

答：至少有一辆二氧化碳排放量超过130g/km的概率为0.7。………………………………. 6分

（2）由题可知，
，

解得
。 ……………………………….7分

又
…………………………………………………. 8分

∴
，

∴
，

…………………………………………………11分

∵

∴ 乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性好。 ………………………………………12分

18.（本小题满分14分）

（1）证明：∵ E、F分别是AC、BC的中点，

∴
…………………………………………………1分

∵

∴
……………………………………………2分

∵
………………………3分

∴
……………………………………………4分

（2）证明：取
的中点
，连结
、
，

∵ △
和△
都是以
为斜边的等腰直角三角形，

∴

∵

∴
……………………………………6分

∵

∴
…………………………8分

（3）解：在等腰直角三角形
中，
，
是斜边
的中点，

∴

同理
。 ………………………………………10分

∵

∴ △
是等边三角形，

∴
…………12分

∵

∴
…………………………14分

19. (本小题满分14分)

解：（1）依题意：
， ……………………………………………1分

又
，且公比
，

解得
。

∴
， ……………………………………………3分

∴
…………………………………………4分

∴
。 ……………………………………………6分

（2）∵
，

∴
……………………………………………8分

∵当
时，
，当
时，
，当
时，
………………………………………10分

∴
. ……………………………………………12分

∴
有最大值，此时
或
。 ……………………………………………14分

20.（本小题满分14分）

解：（1）设椭圆的右焦点为
，依题意得抛物线的方程为
………………………1分

∵△
是边长为
的正三角形，

∴点A的坐标是
， …………………………3分

代入抛物线的方程
解得
，

故所求抛物线
的方程为
…………………………4分

（2）∵
, ∴ 点
的横坐标是

代入椭圆方程解得
，即点
的坐标是
…………………………5分

∵ 点
在抛物线
上，

∴
，