2013—2014学年度第一学期期中考试高三数学(理)试题

选择题部分（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U=R，集合A=
，B=
，则A∪B=（ ）

A．
B．
C．
D．

2． 化简
（ ）

A．
B．
C．
D．

3．“函数
在区间
上存在零点”是“
”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．函数
在区间
上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

5．ΔABC中，已知a、b、c分别是角A、B、C的对边，且
，A、B、C成等差数列，则角C=（ ）

A．
B．
C．
或
D．
或

6．已知函数
，x∈R，若
≥1，则x的取值范围为( )

（A）
（B）

（C）
（D）

7．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所转过的弧AP的长为
，弦AP的长度为
，则函数
的图象大致是（ ）

8．已知函数
是定义在上的增函数，函数
的图象关于点
对

称. 若对任意的
，不等式
恒成立，则当

时，
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

9．函数
满足
，且
时，
，函数
，则函数
在区间
上的零点个数为( )

A．10 B．9 C．8 D．7

10．已知二次函数
的导数
，且
的值域为
，则
的最小值为 （ ）

A．3 B．
C．2 D．

非选择题部分（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11、在平面直角坐标系
中，由直线
与曲线
围成的封闭图形的面积是

12. 已知
，函数
在
上单调递减,则的取值范围是

13. 设函数
是周期为5的奇函数，当
时，
，则
=

14. 设为实常数，
是定义在R上的奇函数，当
时，
.

若“
，
”是假命题，则的取值范围为　　　　　　 .

15.设f(x)＝asin 2x＋bcos 2x，其中a，b∈R，ab≠0，若f(x)≤对一切x∈R恒成立，则

①f＝0；②<；③f(x)既不是奇函数也不是偶函数；④f(x)的单调递增区间是(k∈Z)；⑤存在经过点(a，b)的直线与函数f(x)的图象不相交．

以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的编号)

三、解答题：本大题共6个小题，共75分。解答应写出文字说明、证明或演算过程。

16.（本题满分12分）命题：不等式
对一切实数都成立；命题：已知函数
的图像在点
处的切线恰好与直线
平行，且
在
上单调递减。若命题或为真，求实数的取值范围。

17．（本小题满分12分）
中，设、
、分别为角、、
的对边，角的平分线
交
边于，
．

（1）求证：
；

（2）若
，
，求其三边、
、的值．

18．(本题满分12分) 已知向量
，
，
，点A、B为函数
的相邻两个零点，AB=π.

（1）求的值；

（2）若
，
，求
的值；

（3）求
在区间
上的单调递减区间

19. （本小题满分12分）已知
且
，函数
，
，记

（I）求函数
的定义域及其零点；

（II）若关于的方程
在区间
内仅有一解，求实数的取值范围.

20．（本小题满分13分）已知函数

（1）当
时，求曲线
在点
处的切线方程

（2）若对任意
有
恒成立，求的取值范围。

21．（本小题满分14分）已知函数
，
，其中
的函数图象在点
处的切线平行于轴．

（Ⅰ）确定与
的关系；

（II）若
，试讨论函数
的单调性；

（Ⅲ）设斜率为
的直线与函数
的图象交于两点
（
）

证明：
．

高三数学(理)参考答案

请将选择题答案填入下表中：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

A

B

B

D

D

B

C

C

B

C



11． e-1 12．
13．-1 14．
15．① ③

16.（本题满分12分）

17．（本小题满分12分）（1）

即

…………………………5分

（2）


① ……………7分

又
② …………………9分

由①②解得
…………………………………10分

又在
中

18(本题满分12分) .

解：（1）

,………..3分

由
，得
，则
……………..4分

（2）由（1）得
，则
.

由
，得
，……………..6分

………………8分

（3）
,

,

∴
,………………10分

∴
（
）,

即
（
）,

又
,∴
在区间
上的单调递减区间为

，
.（12分）

19. （本小题满分12分）

解：（1）

（
且
）

，解得
，所以函数
的定义域为

令

，则
……（*）方程变为

，
，即

解得
，
……4分

经检验
是（*）的增根，所以方程（*）的解为
，所以函数
的零点为
.。。5分

（2）
（
）

，

设
，则函数
在区间
上是减函数，当
时，此时
，
，所以
。①若
，则
，方程有解；②若
，则
，方程有解12分

20．（本小题满分13分）

解：（1）
时，
，

，

所以在
处的切线方程为

（2）令

由题可知
在
单调递增，所以
在
上恒成立，即

在
上恒成立，即
在
上恒成立，即，

令
①若
恒成立

②若

不恒成立舍去

③若
若

恒成立只需满足

，即
，解得

综上的取值范围是

21．（本小题满分14分）

解：（1）依题意得
，则

由函数
的图象在点
处的切线平行于轴得：

∴

（2）由（1）得

∵函数
的定义域为

∴当
时，

由
得
，由
得
，

即函数
在(0,1)上单调递增，在
单调递减；

当
时，令
得
或
，

若
，即
时，由
得
或
，由
得
，

即函数
在
，
上单调递增，在
单调递减；

若
，即
时，由
得
或
，由
得
，

即函数
在
，
上单调递增，在
单调递减；

若
，即
时，在
上恒有
，

即函数
在
上单调递增，

综上得：当
时，函数
在(0,1)上单调递增，在
单调递减；

当
时，函数
在
单调递增，在
单调递减；在
上单调递增；

当
时，函数
在
上单调递增，

当
时，函数