安徽省安庆市六校2014届高三第三次联考

数学（文）试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。全卷满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷 选择题（共50分）

一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分)

1. 复数
化简的结果为

A.
B.
C.
D.

2．已知向量
，
，若
与
垂直，则

A．
B．
C．2 D．4

3．已知
为等差数列，其前
项和为
，若
，
，则公差
等于

A．
B．
C．
D．

4．如图是一个算法的程序框图，当输入的值为
时，则其输出的结果是

A．5 B．4 C．3 D．2

5．设

是两条直线，
是两个平面，则
的一个充分条件是

A．
B．

C．
D．

6．函数
的图象恒过定点A，且点A在直线
上
，则
的最小值为

A．12 B．10 C．8 D．14

7．函数
的部分图象如图所示，则函数表达式为

A．
B．

C．
D．

8．若函数f(x)＝
(a＞0且a≠1)在
上既是奇函数又是增函数，则

g(x)＝
的图象是

9．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

A．8 B．

C．
D．

10．已知抛物线
的焦点
到其准线的距离是
，抛物线的准线与
轴的交点为
，点
在抛物线上且
，则
的面积为

A．32 B．16 C．8 D．4

第Ⅱ卷 非选择题部分（共100分）

二、填空题（共有5个小题，每小题5分，共25分）

11．已知
的内角
所对的边分别为
，且
，
，
，则
的值为__________．

12．点
在不等式组
表示的平面区域上运动，则
的最大值为___________.

13．设
是定义在R上的奇函数，当
时，
，且
，则不等式

的解集为__________．

14．已知△
中，
于
，
，
，则

___．

15．已知函数
时，则下列结论正确的是 .

①
，等式
恒成立

②
，使得方程
有两个不等实数根

③
，若
，则一定有

④
，使得函数
在
上有三个零点

三、解答题：（本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

16．（本小题满分12分）

已知
分别是
的三个内角
的对边，
.

（Ⅰ）求角
的大小；

（Ⅱ）求函数
的值域.

17. （本小题满分12分）

某班同学利用寒假在5个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调查，以计算每户的碳月排放量．若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．若小区内有至少
的住户属于“低碳族”，则称这个小区为“低碳小区”，否则称为“非低碳小区” ．已知备选的5个居民小区中有三个非低碳小区，两个低碳小区.

（Ⅰ）求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率；

（Ⅱ）假定选择的“非低碳小区”为小区
，调查显示其“低碳族”的比例为
，数据如图1所示，经过同学们的大力宣传，三个月后，又进行了一次调查，数据如图2所示，问这时小区
是否达到“低碳小区”的标准？

18. (本小题满分12分）

如图，在三棱柱
中，侧棱
底面
,

为
的中点,
.

(1) 求证：
平面
；

(2) 若
，求三棱锥
的体积.

19. (本小题满分13分）

已知正项数列
的前
项和为
，
是
与
的等比中项.

（Ⅰ）求证：数列
是等差数列；

（Ⅱ）若
，且
，求数列
的通项公式；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若
，求数列
的前
项和
.

20. (本小题满分13分）

已知函数

的定义域为
.

（I）求函数
在[m,m+1]（m>0）上的最小值；

（Ⅱ）对
，不等式
恒成立，求
的取值范围.

21. (本小题满分13分）

已知命题“若点
是圆
上一点，则过点
的圆的切线方程为
”．

（Ⅰ）根据上述命题类比：“若点
是椭圆
上一点，则过点
的切线方程为 ．”（写出直线的方程，不必证明）．

（Ⅱ）已知椭圆
：
的左焦点为
，且经过点（1，
）．

（ⅰ）求椭圆
的方程；

（ⅱ）过
的直线
交椭圆
于
、
两点，过点
、
分别作椭圆的两条切线，求其交点的轨迹方程．

2014年安庆市六校第三次联考参考答案

数 学 试 题（文）

一、选择题

1、A 2、C 3、C 4、D 5、C 6、A 7、A 8、C 9、C 10、A

二、填空题

11、
12、2 13、
14、2 15、①②③

三、解答题：

16、解：（I）

…………………………………………………………………………………………………6分

（II）
……………………………………………8分

…………………………………………………………………………………………………10分

所以所求函数值域为
……………………………………………………………………12分

17、解：（Ⅰ）设三个“非低碳小区”为
，两个“低碳小区”为

用
表示选定的两个小区，
，

则从5个小区中任选两个小区,所有可能的结果有10个，它们是
，
，
，
,
,
,
,
,
,
. …………2分

用
表示：“选出的两个小区恰有一个为非低碳小区”这一事件，则
中的结果有6个，它们是：
,
,
,
,
,
. …………4分

故所求概率为
. …………6分

（II）由图1可知月碳排放量不超过
千克的成为“低碳族”. …………8分

由图2可知，三个月后的低碳族的比例为
，…………10分

所以三个月后小区
达到了“低碳小区”标准. …………12分

18、证明:（1）连接
,设
与
相交于点
,连接
. …………1分

∵ 四边形
是平行四边形,∴点
为
的中点.

∵
为
的中点，∴
为△
的中位线,

∴
. …………4分

∵

平面
,
平面
,

∴
平面
. ………… 6分

解:（2）∵三棱柱
，∴侧棱
，

又∵
底面
，∴侧棱
，

故
为三棱锥
的高，
， …………8分

…………10分

…………12分

19、解：（Ⅰ）
即
…………1分

当
时，
，∴
…………2分

当
时，

∴

即
…………3分

∵
∴

∴数列
是等差数列 …………4分

（Ⅱ）由
得
…………6分

∴数列
是以2为公比的等比数列

∴
…………8分

∴
…………9分

（Ⅲ）
…………10分

∴
①

两边同乘以
得
②

①-②得

…………13分

20、解：
， …………1分

令
得
；令
得

所以，函数
在（0，1）上是减函数；在
上是增函数 …………2分

（I）当
时，函数
在[m,m+1]（m>0）上是增函数，

所以，
…………4分

当
时，函数
在[m,1]上是减函数；在[1,m+1] 上是增函数

所以，
。 …………6分

（Ⅱ）由题意，对
，不等式
恒成立

即
恒成立 …………8分

令
，则
…………10分

由
…………12分

所以，
。 所以，
. …………13分

21、解：（Ⅰ）
；……………………………………………………………3分

（Ⅱ）（ⅰ）
；…………………………………………………………………7分

（ⅱ）当直线
的斜率存在时，设为
，直线
的方程为
，

设A
，B
，

则椭圆在点
处的切线方程为：
①

椭圆在点
的切线方程为：
②

联解方程① ②得：
，

即此时交点的轨迹方程：
． ……………………………… 11分

当直线
的斜率不存在时，直线
的方程为
，

此时


，经过
两点的切线交点为

综上所述，切线的交点的轨迹方程为：
． …………………………… 13分