南山区高 三 期 末 考 试

理 科 数 学 2014.01.08

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1、答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损.之后务必用黑色签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、班级、姓名及座位号，在右上角的信息栏填写自己的考号，并用2B铅笔填涂相应的信息点．

2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.不按要求填涂的，答案无效．

3、非选择题必须用黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排、如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案、不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效．

4、考生必须保持答题卡的整洁，不折叠，不破损、考试结束后，将答题卡交回．

5、考试不可以使用计算器．

第Ⅰ卷(选择题共50分)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的编号用铅笔涂在答题卡上．

1、已知全集U=R，集合P={x|x2≤1}，那么?UP=

A、(－∞，－1) B、(1，+∞)

C、(－1，1) D、(－∞，－1)∪(1，+∞)

2、计算：

A、2 B、－2 C、2i D、－2i

3、下列函数中是偶函数，且又在区间(－∞，0)上是增函数的是

A、y=x2 B、y=x-2 C、
D、

4、下列命题中的假命题是

A、(x∈R，x3<0 B、“a>0”是“|a|>0”的充分不必要条件

C、?x∈R，2x>0 D、“x<2”是“|x|<2”的充分不必要条件

5、已知x，y满足
，则z=2x－y的最大值是

A、
B、
C、
D、2

6、已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，且A=60o，c=3b，

则
的值为

A、
B、
C、
D、

7、点P是抛物线y2=4x上一动点，则点P到点A(0，－1)的距离与到直线x=－1的距离和的最小值是

A、
B、
C、2 D、

8、若对任意a，b∈A，均有a+b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，下面正确的是

A、集合{－4，－2，0，2，4}为闭集合

B、集合{n|n=3k，k∈Z}为闭集合

C、若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合

D、闭集合A至少有两个元素

第Ⅱ卷(非选择题共100分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．

(一)必做题：(11～13题)：

9、已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n，(n∈N*)，则an=______.

10、如果执行右图程序框图，那么输出的S=______.

11、命题“若空间两条直线a，b分别垂直平面α，则a∥b”，学生小夏这样证明：设a，b与平面α相交于A，B，连结A、B，

∵a⊥α，b⊥α，AB(α，…… ①

∴a⊥AB，b⊥AB， ……②

∴a∥b. ……③

这里的证明有两个推理，即①(②和②(③，老师评改认为小夏的证明推理不正确，这两个推理中不正确的是_________.

12、已知
，
，且
，则x的值为______.

13、双曲线
(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，以过F1作倾斜角为30o的直线交双曲线的右支与M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为__________.

(二)选做题：(14～15题，考生只能从中选做一题)：

14、(坐标系与参数方程选做题)

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
(α为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________________.

15、(几何证明选讲选做题)

如图，在四边形ABCD中，EF∥BC，FG∥AD，

则
__________.

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明或演算步骤.

16、(本小题满分12分)

已知函数
(x∈R)的最小正周期为T=6π，且f(2π)=2.

(1)求f(x)的表达式；

(2)设
，
，
，求cos(α－β)的值.

17、(本小题满分12分)

有甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表.

优秀

非优秀

总计



甲班

10







乙班



30





合计





105



已知在全部105人中抽到随机抽取一人为优秀的概率为
.

(1)请完成上面的列联表；

(2)根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；

(3)若按下面的方法从甲班优秀的学生 抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚的骰子，出现的点数之和为被抽取人序号. 试求抽到6或10号的概率.

18、(本小题满分14分)

如图所示，在所有棱长都为2a的直三棱柱ABC-A1B1C1中，D点为棱AB的中点.

(1)求四棱锥C1-ADB1A1的体积；

(2)求证：AC1∥平面CDB1；

(3)求异面直线AC1与DB1所成的角的余弦值.

19、(本小题满分14分)

已知椭圆C：
(a>b>0)的离心率为
，其左焦点为
.

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知点D(1，0)，直线l：y=kx+m(k≠0)与椭圆C交于A，B两点，设线段AB的中点为M，若DM⊥AB，试求k的取值范围.

20、(本小题满分14分)

已知函数
(x>0)，设f(x)在点(n，f (n) (n∈N*)处的切线在y轴上的截距为bn，数列{an}满足a1=0.5，an+1= f(an) (n∈N*).

(1)求a2，a3的值；

(2)证明数列
是等差数列并求出数列{an}的通项公式；

(3)在数列
中，仅当n=5时，
取得最小值，求λ的取值范围.

21、(本小题满分14分)

已知函数f(x)=ln(x－a)－x2的一个极值点.

(1)当a=0.5时，求函数y= f(x)的单调区间；

(2)若函数y= f(x)在[1，2]上为减函数，求实数a的取值范围；

(3)若直线y=x为函数y= f(x)的图像的一条切线，求实数a的值.

高三数学(理)参考答案及评分标准

2014、01、08

一、选择题：(10×5′=50′)

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

A

B

D

D

C

B

A

B

A



二、填空题：(4×5′=20′)

11、2n ；1 2、94； 13、②?③； 14、ρ=2sinθ； 15、1.

三、解答题：(80′)

16、(本题满分12分)

解：(1)依题意得
，∴
， ……2分由f(2π)=2，得
，即
，∴A=4， ……4分

∴
. ……5分

(2)由
，得
，

即
，∴
， ……6分

又∵
，∴
， ……7分

由
，得
，

即
，∴
， ……9分

又∵
，∴
， ……10分

cos(α－β)= cosαcosβ+ sinαsinβ
. ……12分

17、(本题满分12分)

解：(1)

优秀

非优秀

总计



甲班

10

45

55



乙班

20

30

50



合计

30

75

105



……3分

(2)根据列联表中的数据，得到

， ……5分

因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”. ……6分

(3)设“抽到6或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为(x，y).

所有的基本事件有(1，1)、(1，2)、(1，3)、(1，4)、(1，5)、(1，6)、

(2，1)、(2，2)、(2，3)、(2，4)、(2，5)、(2，6)、(3，1)、(3，2)、(3，3)、(3，4)、(3，5)、(3，6)、(4，1)、(4，2)、(4，3)、(4，4)、(4，5)、(4，6)、

(5，1)、(5，2)、(5，3)、(5，4)、(5，5)、(5，6)、(6，1)、(6，2)、(6，3)、(6，4)、(6，5)、(6，6)，共36个. ……8分

事件A包含的基本事件有：(1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(4，6)、

(5，1)、(5，5)、(6，4)，共8个， ……10分

∴
， ……11分

故抽到6或10号的概率是
. ……12分

18、(本题满分12分)

解：(1)取线段A1B1中点M，连结C1M，

∵C1A1=C1B1，点M为线段A1B1中点，

∴C1M ⊥A1B.

又三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，

∴A1A⊥平面C1A1B1，

∴A1A⊥C1M，

∵A1A ∩A1B1= A1，

∴C1M⊥平面ADB1A1， ……2分

∴
.

……5分

(2)连结BC1，B1C交于点E，

则点E是B1C的中点，连结DE，

因为D点为AB的中点，

所以DE是△ABC1的中位线，

所以AC1∥DE， ……7分

因为DE(平面CDB1，AC1 ?平面CDB1，所以AC1∥平面CDB1.

……9分

(3)因为AC1∥DE，

所以∠EDB1是异面直线AC1与DB1所成的角， ……10分

因为棱长为2a，所以
，
，

取DB1的中点F，连接EF，则EF⊥DB1，且
， ……12分

所以
，

即异面直线AC1与DB1所成的角的余弦值为
. ……14分

19、(本题满分14分)

解：(1)由题意知，
，
，∴a=2，b=1， ……1分

所以，椭圆C的方程为
. ……4分

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，

由
，得(4k2+1)x2+8kmx+4(m2－1)=0， ……6分

据△>0，得4k2+1>m2 (※)， ……7分

有
，
，∴
，

∴
，
， ……10分

又由题意知，DM垂直平分AB，则DM的方程为：x=－ky+1，……11分

将点M的坐标代入，得
， (☆) ……12分

由(※)，(☆)得，
，

解得
所求. ……14分

20、(本题满分14分)

解：(1)易求得
，
. ……2分

(2)∵
，则
， ……3分

得
， ……5分 即
， ……6分

∴数列
是首项为2，公差为1的等差数列， ……7分

∴
， 即
. ……9分

(3) ∵
， ……10分

∴函数f(x)在点(n，f(n))(n∈N*)处的切线方程为：
， ……11分

令x=0，得
. ……12分

∴
，

仅当n=5时取得最小值，只需
，解得－11<λ<－9，

故λ的取值范围为(－11，－9)． ……14分

21、(本题满分12分)

解：(1)当
时，f(x)的定义域为
， ……1分

又
……2分

∴
时，f′(x)>0；x∈(1，+∞)时，f′(x)<0. ……3分

所以f(x)的递增区间为
，递减区间为(1，+∞). ……4分

(2)当x∈[1，2]时，x－a>0恒成立，即a<1； ……5分

当x∈[1，2]时，
恒成立，即
恒成立，

……6分

又x∈[1，2]时，
， ……8分

所以
. ……9分

(3)设切点为(x0，y0)，则
， ……10分

所以ln(x0－a)－x02=x0，且
，即
.

所以
，所以
……11分

设g(x)=x2+x+ln(1+2x)，
，则
，

所以g(x)在
上为增函数，又g(0)=0， ……13分

所以g(x)=0有唯一解x=0，故x0=0，于是a=－1. ……14分