南山区高 三 期 末 考 试

文 科 数 学 2014.01.08

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1、答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损.之后务必用黑色签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、班级、姓名及座位号，在右上角的信息栏填写自己的考号，并用2B铅笔填涂相应的信息点．

2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.不按要求填涂的，答案无效．

3、非选择题必须用黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排、如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案、不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效．

4、考生必须保持答题卡的整洁，不折叠，不破损、考试结束后，将答题卡交回．

5、考试不可以使用计算器．

参考公式：独立性检验中的随机变量：
，其中n=a+b+c+d为样本容量；

参考数据：

P(K≥k0)

0.10

0.05

0.025

0.010



k0

2.706

3.841

5.024

6.635





第Ⅰ卷(选择题共50分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的编号用铅笔涂在答题卡上．

1、已知全集U=R，集合P={x|x2≤1}，那么?UP=

A、(－∞，－1) B、(1，+∞)

C、(－1，1) D、(－∞，－1)∪(1，+∞)

2、计算：

A、2 B、－2 C、2i D、－2i

3、下列函数中是偶函数，且又在区间(－∞，0)上是增函数的是

A、y=x2 B、y=x-2 C、
D、

4、下列命题中的假命题是

A、(x∈R，x3<0 B、“a>0”是“|a|>0”的充分不必要条件

C、?x∈R，2x>0 D、“x<2”是“|x|<2”的充分不必要条件

5、已知
，
，且
，则x的值为

A、1 B、2 C、
D、

6、已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，且A=60o，c=3b，

则
的值为

A、
B、
C、
D、

7、已知x，y满足
，则z=2x－y的最大值是

A、
B、
C、
D、2

8、点P是抛物线y2=4x上一动点，则点P到点A(0，－1)的距离与到直线x=－1的距离和的最小值是

A、
B、
C、2 D、

9、若对任意a，b∈A，均有a+b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，下面正确的是

A、集合{－4，－2，0，2，4}为闭集合

B、集合{n|n=3k，k∈Z}为闭集合

C、若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合

D、闭集合A至少有两个元素

10、双曲线
(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，以过F1作倾斜角为30o的直线交双曲线的右支与M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为

A、
B、
C、
D、

第Ⅱ卷(非选择题共100分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．

(一)必做题：(11～13题)：

11、已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n，(n∈N*)，则an=______.

12、如果执行右图程序框图，那么输出的S=______.

13、命题“若空间两条直线a，b分别垂直平面α，则a∥b”，学生小夏这样证明：设a，b与平面α相交于A，B，连结A、B，

∵a⊥α，b⊥α，AB(α，…… ①

∴a⊥AB，b⊥AB， ……②

∴a∥b. ……③

这里的证明有两个推理，即①(②和②(③，老师评改认为小夏的证明推理不正确，这两个推理中不正确的是_________.

(二)选做题：(14～15题，考生只能从中选做一题)：

14、(坐标系与参数方程选做题)

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
(α为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________________.

15、(几何证明选讲选做题)

如图，在四边形ABCD中，EF∥BC，FG∥AD，

则
__________.

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明或演算步骤.

16、(本小题满分12分)

某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现在采用分层抽样方法(层内采用不放回的简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3人进行考核.

(1)求甲、乙两组各抽取的人数；

(2)求从甲组抽取的工人中恰有又1名女工的概率；

(3)令X表示抽取的3名工人中男工人的人数，求X的分布列及数学期望.

17、(本小题满分12分)

如图所示，设A、B是单位圆O上的动点，且A、B分别在第一、第二象限. C是圆O与x轴正半轴的交点，△ABC为等边三角形.记以Ox轴正半轴为始边，射线OA为终边的角为θ.

(1)若点A的坐标为
，求
的值；

(2)设
，求函数f(θ)的解析式和值域.

18、(本小题满分14分)

如图所示，已知斜三棱柱(侧棱不垂直底面)A1ACC1与底面ABC垂直，

BC=2，
，
，
.

(1)求侧棱B1B在平面A1ACC1上的正投影的长度；

(2)设AC的中点为D，证明：A1D⊥底面ABC；

(3)求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的余弦值.

19、(本小题满分14分)

已知椭圆C：
(a>b>0)的离心率为
，其左焦点为
.

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知点D(1，0)，直线l：y=kx+m(k≠0)与椭圆C交于A，B两点，若

△DAB是以AB为底边的等腰三角形，试求k的取值范围.

20、(本小题满分14分)

已知函数
(x>0)，数列{an}满足a1=0.5，an+1=f(an)(n∈N*).

(1)求a2，a3的值；

(2)证明数列
是等差数列并求出数列{an}的通项公式；

(3)设
(n∈N*)，求证：b1+b2+……+ bn<5.

=

21、(本小题满分14分)

已知函数
(k为常数，e=2.71828是自然对数的底数).

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)探究函数
)在x∈(1，+∞)上的零点个数(只要求写出结果)；

(3)若函数
(k>2，x>1)，求函数h(x)的最小值.

高三数学(文)参考答案及评分标准2014.1.8

一、选择题：(8×5′=40′)

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

D

A

B

D

B

C

A

B



二、填空题：(6×5′=30′)

9、2n； 10、94； 11、②?③； 12、0.5 ；

13、
； 14、ρ=2sinθ； 15、1.

三、解答题：(80′)

16、(本题满分12分)

解：(1)
，
，

答：从甲组抽取2名，从乙组抽取1名. ……2分

(2)从甲组抽取的工人中恰有1名女工的概率为
. ……6分

(3)X可取值：0，1，2，3，

，
，

，
，

X的分布列为：

X

0

1

2

3



P











……10分

. ……12分

17、(本题满分12分)

解：(1)因为点A的坐标为
，故
，
，……3分

所以
． ……6分

(2)因为以OA为终边的角是
，且△AOB为等边三角形，所以以OB为终边的角为
，所以点B的坐标是
.……8分

而C(1，0)．所以

. ……10分

因为点A、B分别在第一、二象限，所以
，k∈z，

所以
，k∈z． ……11分

所以
的值域为
，所以
.

……13分

因此函数
，f(θ)的值域是
. ……14分

18、(本题满分14分)

解：(方法一)(1)∵ABC-A1B1C1是斜三棱柱，∴BB1∥平面A1ACC1，故侧棱B1B在平面A1ACC1上的正投影的长度等于侧棱B1B的长度．……2分又
，

故侧棱B1B在平面A1ACC1的正投影的长度等于
. ……3分

(2)证明：∵
，
，

∴AC2= A1A2+ C1A2，

∴三角形AA1C是等腰直角三角形，

……5分

又D是斜边AC的中点，∴A1D⊥AC，

……6分

∵平面A1ACC1⊥平面ABC，

∴A1D⊥底面ABC， ……7分

(3)作DE⊥AB，垂足为E，连A1E，

∵A1D⊥面ABC，得A1D⊥AB．∴AB⊥平面A1ED， ……8分

从而有A1E⊥AB，

∴∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角． ……9分

∵BC=2，
，
，∴AC2=BC2+AB2，

∴三角形ABC是直角三角形，AB⊥BC， ……10分

∴ED∥BC ，又D是AC的中点，BC=2，
， ……11分

∴DE=1，
，
， ……12分

∴
， ……13分

即侧面A1 ABB1 与底面ABC所成二面角的余弦值为0.5. ……14分

(方法二)(1)同方法一 ；(2)同方法一.

(3)∵BC=2，
，
，∴AC2=BC2+AB2，

∴三角形ABC是直角三角形，过B作AC的垂线BE，垂足为E，

则
，
，

∴
， ……8分

以D为原点，A1D所在的直线为z轴，DC所在的直线为y轴，平行于BE的直线为x轴，建立空间直角坐标系，

如图所示，则
，

，
，

，

，

设平面A1ABB1的法向量为
，则
，

即
，化简得

令
，得y=－1，z=1，所以
是平面A1ABB1的一个法向量. ……11分

由(1)得A1D⊥面ABC，所以设平面ABC的一个法向量为
，

……12分

设向量
和
所成角为θ，则
， ……13分

即侧面A1 ABB1 与底面ABC所成二面角的余弦值为0.5. ……14分

19、(本题满分14分)

解：(1)由题意知，
，
，∴a=2，b=1， ……1分

所以，椭圆C的方程为
. ……4分

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，

由
，得(4k2+1)x2+8kmx+4(m2－1)=0， ……6分

据△>0，得4k2+1>m2 (※)， ……7分

有
，
，∴
，

∴
，
， ……10分

又由题意知，DM垂直平分AB，则DM的方程为：x=－ky+1，……11分

将点M的坐标代入，得
， (☆) ……12分

由(※)，(☆)得，
，

解得
所求. ……14分

20、(本题满分14分)

解：(1)易求得
，
. ……2分

(2)∵
，则
， ……3分

得
， ……5分 即
， ……6分

∴数列
是首项为2，公差为1的等差数列， ……7分

∴
， 即
. ……9分

(3)由(2)知，b1=4， ……10分

(n≥2)， ……12分

则

，故b1+b2+b3+…+bn<5. ……14分

21、(本题满分14分)

解：(1)已知f(x)的定义域为(0，1)∪(1，+∞)，
. ……2分

令f′ (x)>0，得x∈(e，+∞)，f′ (x)<0，得x∈(0，1)、(1，e)， ……3分

∴f(x)的单调增区间为(e，+∞)；单调减区间为(0，1)、(1，e). ……5分

(2)①当
时，g(x)没有零点；②当
时，g(x)有一个零点；

③当
时，g(x)有两个零点. ……8分

(3)设F(k)=ek－e－k(k≥2)，则F′(k)=ek－1>0，∴F(k)在[2，+∞]上单调递增，∴当k>2时，F(k)= F(2)= e2－e－2>0，即当k>2时，ek>e+k，

……10分

由(1)知，当x>1时，f(x)≥f(e)=e+k， ……11分

， ……13分

当且仅当f(x)= ek时取等号，∴h(x)最小值为2ek. 三、解答题：(80′)

16、(本题满分12分)

解：(1)依题意得
，∴
， ……2分由f(2π)=2，得
，即
，∴A=4， ……4分

∴
. ……5分

(2)由
，得
，

即
，∴
， ……6分

又∵
，∴
， ……7分

由
，得
，

即
，∴
， ……9分

又∵
，∴
， ……10分

cos(α－β)= cosαcosβ+ sinαsinβ
.