2013-2014学年度第一学期期中考试高三数学(文)试卷

考试时间：120分钟；

一、选择题（每题5分,共50分）

1．在复平面内，复数
对应的点的坐标为（ ）

A.(0，-1) B.(0,1) C.
D.

2．设
是集合到对应的集合的映射，若
，则
等于 （ ）

A.
B.
C.
D.

3．已知
，
，
，则（ ）

A. a>b>c B. a>c>b C. b>c>a D. c>b>a

4．在
中，“
”是 “
是直角三角形”的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

5．已知向量
、
满足
，
，
，则
等于 （ ）

A. B.
C.
D.

6．设首项为，公比为
的等比数列
的前项和为
，则（ ）

（A）
（B）


（C）
（D）

7．如果执行右边的程序框图，那么输出的

（ ）

A．
B．

C．
D．

8．已知函数f（x）（x∈R）满足
＞

f（x），则 （ ）

A．f（2）＜
f（0）

B．f（2）≤
f（0）

C．f（2）＝
f（0）

D．f（2）＞
f（0）

9．已知
，则
的最小值是 （ ）

A．2
B．6 C．2 D．2

10．已知
是
上的增函数，那么实数a的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（每题5分,共25分）

11．已知函数
的图象与直线
有两个公共点，则的取值范围是____.

12．
为等差数列
的前n项和，若
，则
= ．

13．已知
，则
的最大值是________.

14．已知
，
，则的不同取值个数为_________.

15．以下四个命题：①在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且
，则
；②设
是两个非零向量且
，则存在实数λ，使得
；③方程
在实数范围内的解有且仅有一个；④
且
，则
；其中正确的是

三、解答题（12+12+12+12+13+14）

16．已知
三个内角
的对边分别为
，向量
，
，且
与
的夹角为
.（1）求角
的值；（2）已知
，
的面积
，求
的值.

17．已知函数
的图象过点（0，
），最小正周期为
，且最小值为－1.

（1）求函数
的解析式.

（2）若
，
的值域是
，求m的取值范围.

非体育迷

体育迷

合计



男









女









合计









18．电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名。右图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图。将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性。

（Ⅰ）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料判断你是否有95％以上的把握认为“体育迷”与性别有关?

（Ⅱ）将日均收看该体育项目不低于50 分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率。

19．设函数
.

（1）若
，
对一切
恒成立，求的最大值；

（2）设
，且
、
是曲线
上任意两点，若对任意
，直线
的斜率恒大于常数，求的取值范围.

20．
表示等差数列
的前项的和，且

（1）求数列的通项
及
；

（2）求和
……

21．已知函数
.

（1）若
的极小值为1，求a的值.

（2）若对任意
，都有
成立，求a的取值范围.

高三数学（文）参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

A

C

A

A

A

D

C

D

B

C



11．
12．4 13．2 14．54 15．①②③④

16．(1)
；（2）
.

试题解析：(1)∵
，
.

∴
，

即
，

又∵
，∴
.(6分)

(2)由
，得
，　①

由
，得
，②

由①②得
，∵
，

∴
. (12分)

考点：1.向量的数量积；2.余弦定理；3.三角形的面积公式；4.两角和与差的余弦定理.

17．（1）
；（2）

试题解析：（1）由函数的最小值为－1，可得A=1，因为最小正周期为
，所以=3.可得
，又因为函数的图象过点（0，
），所以
，而
，所以
，故
.

（2）由
，可知
，因为
，且cos =－1，
，由余弦曲线的性质的，
，得
，即
.

考点：（1）余弦函数的性质和图象；（2）余弦函数性质的应用.

18．（Ⅰ）
列联表如下：

非体育迷

体育迷

合计



男

30

15

45



女

45

10

55



合计

75

25

100



没有95%的把握认为“体育迷”与性别有关；（Ⅱ）
．

试题解析：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而完成
列联表如下：

非体育迷

体育迷

合计



男

30

15

45



女

45

10

55



合计

75

25

100



将
列联表中的数据代入公式计算，得

因为
，所以我们没有95%的把握认为“体育迷”与性别有关。

（Ⅱ）由频率分布直方图知“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为
，其中
表示男性，
，
表示女性
。由这10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的。

用表示“任取2人中，至少有1人是女性”这一事件，则
事件由7个基本事件组成，因而
。

考点：本小题考查频率分布直方图，独立检验，古典概型的概率求法，考查学生的数据处理能力，以及学生的分析问题、解决问题的能力．

19．（1）的最大值为；（2）实数的取值范围是
.

试题解析：（1）当
时，不等式
对一切
恒成立，则有
，

，令
，解得
，列表如下：





















减

极小值

增



故函数
在
处取得极小值，亦即最小值，即

，

则有
，解得
，即的最大值是；

（2）由题意知
，不妨设
，

则有
，即
，

令
，则
，这说明函数
在上单调递增，

且
，所以
在上恒成立，

则有
在在上恒成立，

当
时，
，则有
，

即实数的取值范围是
.

考点：1.不等式恒成立；2.基本不等式

20．(1)
；(2)

试题解析：（1）
3分

7分

（2）令
，得

当
时，

10分

当
时

14分

考点：1 数列的通项；2 数列的求和

21．（1）
（2）

试题解析：（1）因为
，所以

当a≤0时，
，所以
在定义域（0，+∞上单调递减，不存在极小值；

当a>0时，令
，可得
，当
时，有
，
单调递减；当
时，由
，
单调递增，

所以
是函数
的极小值点，故函数
的极小值为
，解得
.

（2）由（1）可知，当a≤0时，
在定义域（0，+∞上单调递减，且
在x=0附近趋于正无穷大，而
，由零点存在定理可知函数
在（0,1]内存在一个零点，
不恒成立；

当a>0时，若
恒成立，则
，即a≥1，

结合（1）a≥1时，函数