攀枝花市七中2013—2014学年度（下）高三第一次诊断性考试

理 科 数 学

命题人：马传兰 审题人：张栋成

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在复平面内，复数
（
是虚数单位）所对应的点位于( )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．设集合
,
，则
等于( )

A．
B．
C．
D．

3．“
”是“方程
表示焦点在
轴上的椭圆”的( )

A ．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．已知
是两条不同的直线，
是两个不同的平面，则下列命题中不正确的是( )

A．若
则
B．若
则

C．若
，则
D．若
，则

5．设
是等差数列
的前
项和，若
，则
＝( )

A．1 B．－1 C．2 D．

6．已知抛物线
的焦点与双曲线
的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

7．已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示，则该几何体的体积为( )

A．9
B．10
C．11
D．

8．关于函数
，下列结论中不正确的是( )

A．
在区间
上单调递增

B．
的一个对称中心为

C．
的最小正周期为

D．当
时,
的值域为

过抛物线
的焦点的
直线交抛物线于
两点，
为坐标原点，若
，则
的面

积为 ( )

A.
B.
C.
D.

已知函数
是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的不等实数
，不等式

恒成立，则不等式
的解集为( )

A．（1，＋
）　　B．（一
，0）　　C．（0，＋
）　　D．（一
，1）

二、填空题（本大题5个小题，每小题5分，共25分，只填结果，不要过程）

11．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出
的值为

12．已知实数
满足
，则
的最小值是

13．已知
且满足
，则
的

最小值为 ．

将
六个字母排成一排，且
均在
的同侧，

则不同的排法共有 种（用数字作答）

已知
表示大于
的最小整数，例如
．

下列命题:

①函数
的值域是
；

②若
是等差数列，则
也是等差数列；

③若
是等比数列，则
也是等比数列；

④若
，则方程
有
个根.

其中正确的的序号是 ____________ ．（把你认为正确的序号都填上）

三、解答题：本大题共6小题，满分75分。解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤。

16．（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．设向量
，
．

（1）若
，
，求角A；

（2）若
，
，求
的值．

17．（本小题满分12分） 在数列
中，
　

（1）证明
是等比数列，并求
的通项公式；

（2）求
的前n项和

（本小题满分12分）为了倡导健康、低碳、绿色的生活理念，某市建立了公共自行车服务系统鼓励

市民租用公共自行车出行，公共自行车按每车每次的租用时间进行收费，具体收费标准如下：

①租用时间不超过1小时，免费；

②租用时间为1小时以上且不超过2小时，收费1元；

③租用时间为2小时以上且不超过3小时，收费2元；

④租用时间超过3小时的时段，按每小时2元收费（不足1小时的部分按1小时计算）

已知甲、乙两人独立出行，各租用公共自行车一次，两人租车时间都不会超过3小时，设甲、乙租用时间不超过1小时的概率分别是0. 4和0. 5 ;租用时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.5和0.3.

（1）求甲、乙两人所付租车费相同的概率；

（2）设甲、乙两人所付租车费之和为随机变量
，求
的分布列和数学期望E

19．（本小题满分12分）如图，平面
，
是等腰直角三角形，
，四边形
是直角梯形，
，
，
，
分别为
的中点。

（1）求证：
//平面
；

（2）求直线
和平面
所成角的正弦值；

（3）能否在
上找一点
，使得
？ 若能，请指出点N的位置，并加以证明； 若不能，请说明理由。

20．（本小题满分13分）已知椭圆C：

的一个焦点是（1，0），两个焦点与短轴的

一个端点构成等边三角形．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点Q（4，0）且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A、B两点，设点A关于x轴的对称点为

A1．求证：直线A1B过x轴上一定点，并求出此定点坐标．

21．（本小题满分14分）已知函数
，
．

（1）当
时，求函数
的极大值；

（2）求函数
的单调区间；

（3）当
时，设函数
，若实数
满足：
且
，
，求证：
．

攀枝花市七中2013—2014学年度（下）第一次诊断性考试

理科答案

选择题：BCCDA CCDCB

填空题：11．
12．－5 13．18 14．480 15．①④

解答题：

16．（本小题满分12分）

解：（1）∵
，∴
．由正弦定理，得
．

化简，得
． ………………………………………………2分

∵
，∴
或
，

从而
（舍）或
．∴
． ………………………………4分

在Rt△ABC中，
，
． …………………………………6分

（2）∵
，∴
．

由正弦定理，得
，从而
．

∵
，∴
． 从而
． ……………7分

∵
，
，∴
，
． ……………………8分

∵
，∴
，从而
，B为锐角，
． ………10分

∴

=
． …………………………………12分

17．（本小题满分12分）

解:(Ⅰ)

2分

4分

6分

(Ⅱ)
……① 7分

……② 8分

①-② 得：
9分

10分

12分

18.（本小题满分12分）

.解：(Ⅰ)根据题意，

分别记“甲所付租车费0元、1元、2元”为事件
，它们彼此互斥，

且

分别记“乙所付租车费0元、1元、2元”为事件
，它们彼此互斥，

且
2分

由题知，
与
相互独立， ３分

记甲、乙两人所扣积分相同为事件
，则

所以

６分

(Ⅱ) 据题意
的可能取值为：
7分

10分

所以
的分布列为：

0

1

2

3

4



P

0.2

0.37

0.28

0.13

0.02




的数学期望
11分

答：甲、乙两人所扣积分相同的概率为0.37，
的数学期望
12分

19．（本小题满分12分）

（I）证明：取AC中点F，连结OF、FB

∴OF//DB，OF=DB∴四边形BDOF是平行四边∴OD//FB

又
平面
，OD
平面ABC∴OD//平面ABC。（II）∵DB⊥面ABC，又

，

面ABDE，
面ABC，∵BD//AE，∴EA⊥面ABC

如图，以C为原点，分别以CA、CB为x、y轴，以过点C且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系∵AC=BC=4，

∴C（0，0，0），A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，2），E（4，0，4）

，设面ODM的法向量
，则由
，
，可得

令x=2，

得：

，设直线CD和平面ODM所成角为
。

则：

∴直线CD和平面ODM所成角正弦值为

（III）方法一：当N是EM中点时，ON⊥平面ABDE。

证明：取EM中点N，连结ON、CM，∵AC=BC，M为AB中点，∴CM⊥AB，

又∵面ABDE⊥面ABC，面ABDE
面ABC=AB，CM
面ABC，

∴CM⊥AB，∵N是EM中点，O为CE中点，∴ON//CM，

∴ON⊥平面ABDE。

方法二 当N是EM中点时，ON⊥平面ABDE。

∵DB⊥BA，又∵面ABDE⊥面ABC，面ABDE
面ABC=AB，DB
面ABDE

∴DB⊥面ABC，

∵BD//AE，∴EA⊥面ABC。

如图，以C为原点，分别以CA、CB为x、y轴，以过点C与平面垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，∵AC=BC=4，

则C（0，0，0），A（4，0，0），B(0,4,0)D（0，4，2），E（4，0，4）

∴O（2，0，2），M（2，2，0），设N（a，b，c），

是面ABC的一个法向量，

即N是线段EM的中点，∴当N是EM中点时，ON⊥平面ABDE

20．（本小题满分13分）

解：(1)∵椭圆C的一个焦点是
，∴半焦距
，∵椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形。∴
，解得
。∴椭圆的标准方程为
。…5分

（2）设直线
：
与
联立并消去
得：

. 记
，
，
，

. ························8分

由A关于
轴的对称点为
，得
，根据题设条件设定点为
（
，0），

得
，即
.

所以

即定点
（1 ， 0）.……………13分

21．（本小题满分14分）

解：函数
的定义域为
．

（1）当
时，
，
，令
得
． ………1分

列表：

x











+

0







 ↗

极大值

 ↘



 所以
的极大值为
． …………………………………………3分

(2)
．令
，得
，记
．

（ⅰ）当
时，
，所以
单调减区间为
； …………4分

（ⅱ）当
时，由
得
，

①若
，则
，由
，得
，
；由
，得
． 所以，
的单调减区间为
，
，单调增区间为