保密 ★ 启用前 【考试时间：2014年1月16日15:00—17:00】

绵阳市高中2011级第二次诊断性考试

数 学（文科）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷2至4页．满分150分．考试时间120分钟．

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名．考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置．

2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸．试题卷上答题无效．

3．考试结束后，将答题卡收回．

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合S={1，2}，集合T={x|(x-1)(x-3)=0}，那么S∪T=

A．( B．{1}

C．{1，2} D．{1，2，3}

2．复数(1+i)2(1-i)=

A．-2-2i B．2+2i

C．-2+2i D．2-2i

3．执行右图的程序，若输入的实数=4，则输出结果为

A．4 B．3

C．2 D．

4．下列函数中定义域为R，且是奇函数的是

A．
=x2+x B．
=tanx

C．
=x+sinx D．
=

5．已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是不同的平面，则下列条件中能推出α⊥β的是

A．lα，mβ，且l⊥m B．lα，mβ，nβ，且l⊥m，l⊥n

C．mα，nβ，m//n，且l⊥m D．lα，l//m，且m⊥β

6．抛物线
的焦点到双曲线
的渐近线的距离是

A．1 B．2

C．
D．2

7．一个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆内切于边长为2的正方形，则该机器零件的体积为

A．8+
B．8+

C．8+
D．8+

8．已知O是坐标原点，点
，若点
为平面区域
上的一个动点，则|AM|的最小值是

A．
B．
C．
D．

9．已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若
=0，则△AOC的面积为

A．
B．
C．
??????? D．

10．若存在x使不等式
>
成立，则实数m的取值范围为

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．tan300o=______．

12．若直线l1：x+(1+k)y=2-k与l2：kx+2y+8=0平行，则k的值是_____．

13．右图的茎叶图是甲、乙两人在4次模拟测试中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为 ．

14．已知A是抛物线y2=4x上一点，F是抛物线的焦点，直线FA交抛物线的准线于点B（点B在x轴上方），若|AB|=2|AF|，则点A的坐标为________．

15．P是以F1，F2为焦点的椭圆
上的任意一点，若∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，且cosα=
，sin(α+β)=
，则此椭圆的离心率为 ．

三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．

16．（本题满分12分）

已知向量a =
，b=
，设函数
=ab．

（Ⅰ）求
的单调递增区间；

（Ⅱ）若将
的图象向左平移
个单位，得到函数
的图象，求函数
在区间
上的最大值和最小值．

17．（本题满分12分）

已知首项为
的等比数列{an}是递减数列，其前n项和为Sn，且S1+a1，S2+a2，S3+a3成等差数列．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）已知
，求数列{bn}的前n项和
．

18．（本题满分12分）

据《中国新闻网》10月21日报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注．为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3600人调查（若所选择的在校学生的人数低于被调查人群总数的80%，则认为本次调查“失效”），就“是否取消英语听力”的问题，调查统计的结果如下表：

应该取消

应该保留

无所谓



在校学生

2100人

120人

y人



社会人士

600人

x人

z人



已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05．

（Ⅰ）现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行深入访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？

（Ⅱ）已知y≥657，z≥55，求本次调查“失效”的概率．

19．（本题满分12分）

如图，四边形ABCD为矩形，四边形ADEF为梯形，AD//FE，∠AFE=60o，且平面ABCD⊥平面ADEF，AF=FE=AB=
=2，点G为AC的中点．

（Ⅰ）求证：EG//平面ABF；

（Ⅱ）求三棱锥B-AEG的体积；

（Ⅲ）试判断平面BAE与平面DCE是否垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由．

20．（本题满分13分）

已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x-4y+7=0相切，且被轴截得的弦长为
，圆C的面积小于13．

（Ⅰ）求圆C的标准方程；

（Ⅱ）设过点M(0，3)的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB．是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．

21．（本题满分14分）

设函数
．

（Ⅰ）若
在x=
处的切线与直线4x+y=0平行，求a的值；

（Ⅱ）讨论函数
的单调区间；

（Ⅲ）若函数
的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为
，证明
．

绵阳市高2011级第二次诊断性考试

数学(文)参考解答及评分标准

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

DBCCD AABAC

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．
12．1 13．0.3

14．
或(
，
) 15．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．解：（Ⅰ） f(x)=a?b=2sin2x+2sinxcosx

=
+sin2x

=
sin(2x-
)+1，?? ……………………………… 3分

由-
+2kπ≤2x-
≤
+2kπ，k∈Z，得-
+kπ≤x≤
+kπ，k∈Z，

∴ f(x)的单调递增区间是[-
+kπ，
+kπ]( k∈Z)． …………………… 6分

（II）由题意g(x)=
sin[2(x+
)-
]+1=
sin(2x+
)+1，………… 9分

由
≤x≤
得
≤2x+
≤
，

∴ 0≤g(x)≤
+1，即 g(x)的最大值为
+1，g(x)的最小值为0． … 12分

17．解：（I）设等比数列{an}的公比为q，由题知a1= ，

又∵ S1+a1，S2+a2，S3+a3成等差数列，

∴ 2(S2+a2)=S1+a1+S3+a3，

变形得S2-S1+2a2=a1+S3-S2+a3，即得3a2=a1+2a3，

∴ q=+q2，解得q=1或q=， …………………………………………4分

又由{an}为递减数列，于是q=，

∴ an=a1
=( )n． …………………………………………………………6分

（Ⅱ）由于bn=anlog2an=-n?( )n，

∴
，

于是
，

两式相减得：

整理得
． ………………………………………………………12分

18．解：（I）∵ 抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05，

∴
=0.05，解得x=60． ………………………………………………2分

∴ 持“无所谓”态度的人数共有3600-2100-120-600-60=720． ……… 4分

∴ 应在“无所谓”态度抽取720×=72人． ………………………… 6分

（Ⅱ）∵ y+z=720，y≥657，z≥55，故满足条件的(y，z)有：

(657，63)，(658，62)，(659，61)，(660，60)，(661，59)，(662，58)，(663，57)，(664，56)，(665，55)共9种． …………………………… 8分

记本次调查“失效”为事件A，

若调查失效，则2100+120+y<3600×0.8，解得y<660．

∴ 事件A包含：(657，63)，(658，62)，(659，61)共3种．

∴ P(A)= =． …………………………………………………………… 12分

19．（I）证明：取AB中点M，连FM，GM．

∵ G为对角线AC的中点，

∴ GM∥AD，且GM=AD，

又∵ FE∥AD，

∴ GM∥FE且GM=FE．

∴四边形GMFE为平行四边形，即EG∥FM．

又∵
平面ABF，
平面ABF，

∴ EG∥平面ABF．…………………………………………………………… 4分

（Ⅱ）解：作EN⊥AD，垂足为N，

由平面ABCD⊥平面AFED ，面ABCD∩面AFED=AD，

得EN⊥平面ABCD，即EN为三棱锥E-ABG的高．

∵ 在△AEF中，AF=FE，∠AFE=60o，

∴ △AEF是正三角形．

∴ ∠AEF=60o，

由EF//AD知∠EAD=60o，

∴ EN=AE?sin60o=
．

∴ 三棱锥B-AEG的体积为

．……………………8分

（Ⅲ）解：平面BAE⊥平面DCE．证明如下：

∵ 四边形ABCD为矩形，且平面ABCD⊥平面AFED，

∴ CD⊥平面AFED，

∴ CD⊥AE．

∵ 四边形AFED为梯形，FE∥AD，且
，

∴
．

又在△AED中，EA=2，AD=4，
，

由余弦定理，得ED=
．

∴ EA2+ED2=AD2，

∴ ED⊥AE．

又∵ ED∩CD=D，

∴ AE⊥平面DCE，

又
面BAE，

∴ 平面BAE⊥平面DCE． …………………………………………………12分

20．解：（I）设圆C：(x-a)2+y2=R2(a>0)，由题意知

解得a=1 或 a=， ……………………………………… 3分

又∵ S=πR2<13，

∴ a=1，

∴ 圆C的标准方程为：(x-1)2+y2=4． …………………………………… 6分

（Ⅱ）当斜率不存在时，直线l为：x=0不满足题意．

当斜率存在时，设直线l：y=kx+3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

又∵ l与圆C相交于不同的两点，

联立
消去y得：(1+k2)x2+(6k-2)x+6=0， …………………9分

∴Δ=(6k-2)2-24(1+k2)=36k2-6k-5>0，

解得
或
．

x1+x2=
，y1+ y2=k(x1+x2)+6=
，

，
，

假设
∥
，则
，

∴
，

解得
，假设不成立．

∴ 不存在这样的直线l． ……………………………………………………13分

21．解：（I）由题知f(x)=2ax2+(a+4)x+lnx的定义域为(0，+∞)，

且
．

又∵ f(x)的图象在x=处的切线与直线4x+y=0平行，

∴
，

解得 a=-6．…………………………………………………………………… 4分

（Ⅱ）
，

由x>0，知
>0．

①当a≥0时，对任意x>0，
>0，

∴ 此时函数f(x)的单调递增区间为(0，+∞)．

②当a<0时，令
=0，解得
，

当
时，
>0，当
时，
<0，

此时，函数f(x)的单调递增区间为(0，
)，单调递减区间为(
，+∞)．

………………………………………………………………9分

（Ⅲ）不妨设A(
，0)，B(
，0)，且
，由（Ⅱ）知
，

于是要证
<0成立，只需证：
即
．

∵
， ①

， ②

①-②得
，

即
，

∴
，

故只需证
，

即证明
，

即证明
，变形为
，

设

，令
，

则

，

显然当t>0时，
≥0，当且仅当t=1时，
=0，

∴ g(t)在(0，+∞)上是增函数．

又∵ g(1)=0，

∴ 当t∈(0，1)时，g(t)<0总成立，命题得证．……………………………14分