七校联考高三数学（理）学科试卷 2013.12.

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并在规定位置填涂信息点。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡和答题纸上。考试结束后，将答题卡和答题纸一并交回。

祝各位考生考试顺利！

第Ⅰ卷

注意事项：

本卷共8小题，每小题5分，共40分。

（1）若集合
,B=
,则A∩B=（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

（2）设变量
满足约束条件
则目标函数
的取值范围是 （ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

（3）已知向量
，
，若与
垂直，则的值为 （ ）

（A）
（B）
（C）
（D）1

（4）
是“函数
在区间[-1,2]上存在零点”的 （ ）条件

（A）充分不必要（B）必要不充分（C）充分必要（D）既不充分也不必要

（5）以抛物线
的焦点为圆心，且与双曲线
的渐近线相切的圆的方程为（ ）

（A）

（B）

（C）

（D）

（6）已知数阵
中，每行的3个数依次成等差数列，每列的三个数也依次成等差数列，若
，则这9个数的和为（ ）

（A）16 （B） 32 （C）36 （D）72

（7）已知函数
，若数列
满足

，且
是递减数列，则实数的取值范围是( )

（A）
（B）
（C）
（D）

（8）已知定义在上的奇函数f(x)，满足
,且在区间[0,2]上是增函数,若方程
在区间[-8,8]上有四个不同的根
,则
=（ ）

（A） 0 （B）8 （C） -8 （D）16

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．

（9）直线
被圆
截得的弦长为__________

（10）在
中，已知是
边上一点，若
，则
______．

（11）已知定义域为R的偶函数
在
上是增函数，且
则不等式
的解集为__________

（12）若点 (-2,-1)在直线
上，其中
，则
的最小值为 ．

（13）曲线
处切线与直线
垂直，则
______

（14）设不等式
的解集为M，如果
，则实数的

范围是_____

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（15）（本小题满分13分）

已知{
}是一个公差大于0的等差数列，且满足

（Ⅰ）求数列{
}的通项公式：

（Ⅱ）若数列{
}和等比数列{
}满足等式：
（n为正整数）求数列{
}的前n项和

（16）（本小题满分13分）

在
中，已知
，
.

(Ⅰ)求
的值；

(Ⅱ)若
为
的中点，求
的长.

（17）（本小题满分13分）

已知函数f(x)＝sin(2x＋)＋sin(2x－)－cos2x

(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；

(Ⅱ)若函数f(x)的图像向左平移 m(m>0)个单位后，得到函数g(x)的图像关于y轴对称，求实数m的最小值．

（18）（本小题满分13分）

设椭圆
:
过点
，离心率为
．

（Ⅰ）求
的方程；

（Ⅱ）求过点
且斜率为
的直线被
所截线段的中点坐标．

（19）（本小题满分14分）

已知数列
满足
（
)，其中
为数列
的前n项和．

(Ⅰ)求
的通项公式；

(Ⅱ)若数列
满足：
(
)，求
的前n项和公式
.

（20）（本小题满分14分）

已知函数
在点
处的切线方程为
．

(Ⅰ)求函数
的解析式；

(Ⅱ)若对于区间
上任意两个自变量的值
都有
，求实数
的最小值；

（Ⅲ）若过点
可作曲线
的三条切线，求实数的取值范围．

七校联考高三数学（理）学科试卷答案

选择题

1A 2D 3C 4A 5D 6D 7C 8C

填空题

9、4 10、
11、
12、8 13、1 14

三、解答题：

已知{
}是一个公差大于0的等差数列，且满足

（Ⅰ）求数列{
}的通项公式：

（Ⅱ）若数列{
}和等比数列{
}满足等式：
（n为正整数）求数列{
}的前n项和

（Ⅰ）设等差数列
的公差为d，则依题设d>0

由
，得
①

由
得
②-----------------4分

由①得
将其代入②得
，

即
-----------------6分

-----------------8分

（Ⅱ）
-

（16）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）
且
，∴
-----------------2分

---------------------- 3分

． ----------------------6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得
． ----------------8分

由正弦定理得
，即
，

解得
． -------------------------------10分

在
中，
，
，

所以
．-------------------------------13分

（17）（本小题满分13分）

已知函数f(x)＝sin(2x＋)＋sin(2x－)－cos2x

(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；

(Ⅱ)若函数f(x)的图像向左平移m(m>0)个单位后，得到函数g(x)的图像关于y轴对称，求实数m的最小值．

解：(Ⅰ)f(x)＝sin(2x＋)＋sin(2x－)－cos2x

＝sin2x－cos2x＝2sin(2x－)，-----------------3分

∴f(x)的最小正周期为＝π. -----------------5分

当2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，

即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)单调递增，

故所求区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．-----------------7分

(Ⅱ)函数f(x)的图像向左平移m(m>0)个单位后得g(x)＝2sin[2(x＋m)－]，

要使g(x)的图像关于y轴对称，

只需2m－＝kπ＋(k∈Z)．-----------------10分

即m＝＋(k∈Z)．所以m的最小值为.-----------------13分

（18）（本小题满分13分）

设椭圆
:
过点
，离心率为
．

（Ⅰ）求
的方程；

（Ⅱ）求过点
且斜率为
的直线被
所截线段的中点坐标．

【解】（Ⅰ）将点
代入
的方程得
, ?所以
,----------------2分

又
得
，即
， ?所以
．----------------2分

?所以
的方程为
．----------------5分

（Ⅱ）过点
且斜率为
的直线方程为
，----------------6分

设直线与
的交点为Ａ
，Ｂ
，

由
消去得

，即
，----------------9分

解得
，
，

　　所以
的中点坐标
，
，

即所截线段的中点坐标为
．----------------13分

（19）（本小题满分14分）

已知数列{an}满足
n∈N＋)，其中
为数列
的前n项和．

(Ⅰ)求
的通项公式；

(Ⅱ)若数列
满足：
(n∈N＋)，求
的前n项和公式
.

解：(Ⅰ)∵Sn＝1－an，①

∴Sn＋1＝1－an＋1，②---------------2分

②－①得，an＋1＝－an＋1＋an，∴an＋1＝an(n∈N＋)．--------------3分

又n＝1时，a1＝1－a1，∴a1＝.

∴an＝·n－1＝n，n∈N＋. ---------------5分

(2)∵bn＝＝n·2n(n∈N＋)，---------------6分

∴Tn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n.③

∴2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1.④---------------8分

③－④得，－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝－n×2n＋1，

整理得，Tn＝(n－1)2n＋1＋2，n∈N＋. ---------------13分

（20）（本小题满分14分）

已知函数
在点
处的切线方程为
．

(Ⅰ)求函数
的解析式；

(Ⅱ)若对于区间
上任意两个自变量的值
都有
，求实数
的最小值；

（Ⅲ）若过点
可作曲线
的三条切线，求实数的取值范围．

解：⑴
．--------------- 2分

根据题意，得
即
解得
---------------3分

所以
．--------------- 4分

⑵令
，即
．得
．









1



2







+







+









增

极大值

减

极小值

增

2



因为
，
，

所以当
时，
，
．--------------- 6分

则对于区间
上任意两个自变量的值
，都有

，所以
．

所以的最小值为4．--------------- 8分

⑶因为点
不在曲线
上，所以可设切点为
．

则
．

因为
，所以切线的斜率为
．--------------- 9分

则
=
，--------------- 11分

即
．

因为过点
可作曲线
的三条切线，

所以方程
有三个不同的实数解．

所以函数
有三个不同的零点．

则
．令
，则
或
．



0



2







+







+





增

极大值

减

极小值

增



则
，即
，解得
．--------------- 13分