保密 ★ 启用前 【考试时间：2014年1月16日15:00—17:00】

绵阳市高中2011级第二次诊断性考试

数 学（理科）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷3至4页．满分150分．考试时间120分钟．

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名．考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置．

2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸．试题卷上答题无效．

3．考试结束后，将答题卡收回．

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合A={x|x+2>0}，集合B={-3，-2，0，2}，那么(RA)∩B=

A．( B．{-3，-2}

C．{-3} D．{-2，0，2}

2．设i是虚数单位，复数
的虚部为

A．-i B．-1

C．i D．1

3．执行右图的程序，若输出结果为2，则输入的实数的值是

A．3 B．

C．4 D．2

4．已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是不同的平面，则α⊥β的一个充分条件是

A．lα，mβ，且l⊥m B．lα，mβ，nβ，且l⊥m，l⊥n

C．mα，nβ，m//n，且l⊥m D．lα，l//m，且m⊥β

5．一个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆

内切于边长为2的正方形，则该机器零件的体积为

A．8+
B．8+

C．8+
D．8+

6．圆C的圆心在y轴正半轴上，且与x轴相切，被双曲线

的渐近线截得的弦长为
，则圆C的方程为

A．x2+(y-1)2=1 B．x2+(y-
)2=3

C．x2+(y-
)2=
D．x2+(y-2)2=4

7．已知O是坐标原点，点
，若点
为平面区域
上的一个动点，则|AM|的最小值是

A．
B．
C．
D．

8．某学校组织演讲比赛，准备从甲、乙等8名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加时，他们的演讲顺序不能相邻，那么不同的演讲顺序的种数为

A．1860 B．1320 C．1140 D．1020

9．已知O是锐角△ABC的外心，若
(x，y∈R)，则

A．x+y≤-2 B．-2≤x+y<-1

C．x+y<-1 D．-1

10．设a，b，x∈N*，a≤b，已知关于x的不等式lgb-lga

A．
B．6 C．
? D．4

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．tan300o=_______．

12．已知直线l1：x+(1+k)y=2-k与l2：kx+2y+8=0平行，则k的值是_______．

13．若
展开式的常数项是60，则常数a的值为 ．

14．已知P是以F1，F2为焦点的椭圆
上的任意一点，若∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，且cosα=
，sin(α+β)=
，则此椭圆的离心率为 ．

15．
是定义在D上的函数，若存在区间
，使函数
在
上的值域恰为
，则称函数
是k型函数．给出下列说法：

①
不可能是k型函数；

②若函数
是1型函数，则
的最大值为
；

③若函数
是3型函数，则
；

④设函数
(x≤0)是k型函数，则k的最小值为
．

其中正确的说法为 ．（填入所有正确说法的序号）

三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．

16．（本题满分12分）

已知向量a =
，b=
，设函数
=ab．

（Ⅰ）求
的单调递增区间；

（Ⅱ）若将
的图象向左平移
个单位，得到函数
的图象，求函数
在区间
上的最大值和最小值．

17．（本题满分12分）

已知首项为
的等比数列{an}是递减数列，其前n项和为Sn，且S1+a1，S2+a2，S3+a3成等差数列．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若
，数列{bn}的前n项和Tn，求满足不等式
≥
的最大n值．

18．（本题满分12分）

据《中国新闻网》10月21日报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改”引起广泛关注．为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3600人调查，就是否“取消英语听力”的问题，调查统计的结果如下表：

应该取消

应该保留

无所谓



在校学生

2100人

120人

y人



社会人士

600人

x人

z人



已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05．

（Ⅰ）现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？

（Ⅱ）在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数ξ的分布列和数学期望．

19．（本题满分12分）

如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠ADC=90o，AE⊥平面ABCD，EF//CD， BC=CD=AE=EF=
=1．

（Ⅰ）求证：CE//平面ABF；

（Ⅱ）求证：BE⊥AF；

（Ⅲ）在直线BC上是否存在点M，使二面角E-MD-A的大小为
？若存在，求出CM的长；若不存在，请说明理由．

20．（本题满分13分）

已知椭圆C的两个焦点是(0，-
)和(0，
)，并且经过点
，抛物线的顶点E在坐标原点，焦点恰好是椭圆C的右顶点F．

（Ⅰ）求椭圆C和抛物线E的标准方程；

（Ⅱ）过点F作两条斜率都存在且互相垂直的直线l1、l2，l1交抛物线E于点A、B，l2交抛物线E于点G、H，求
的最小值．

21．（本题满分14分）

已知函数
．

（Ⅰ）若
是
上是增函数，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）证明：当a≥1时，证明不等式
≤x+1对x∈R恒成立；

（Ⅲ）对于在(0，1)中的任一个常数a，试探究是否存在x0>0，使得
>x0+1成立？如果存在，请求出符合条件的一个x0；如果不存在，请说明理由．

绵阳市高2011级第二次诊断性考试

数学(理)参考解答及评分标准

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

BDCDA AACCB

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．
12．1 13．4 14．
15．②③

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．解：（Ⅰ）f(x)=a?b=2sin2x+2sinxcosx

=
+sin2x

=
sin(2x-
)+1，? ……………………………… 3分

由-
+2kπ≤2x-
≤
+2kπ，k∈Z，得-
+kπ≤x≤
+kπ，k∈Z，

∴ f(x)的递增区间是[-
+kπ，
+kπ]( k∈Z)． ………………………… 6分

（II）由题意g(x)=
sin[2(x+
)-
]+1=
sin(2x+
)+1，………… 9分

由
≤x≤
得
≤2x+
≤
，

∴ 0≤g(x)≤
+1，即 g(x)的最大值为
+1，g(x)的最小值为0． … 12分

17．解：（I）设等比数列{an}的公比为q，由题知 a1= ，

又∵ S1+a1，S2+a2，S3+a3成等差数列，

∴ 2(S2+a2)=S1+a1+S3+a3，

变形得S2-S1+2a2=a1+S3-S2+a3，即得3a2=a1+2a3，

∴ q=+q2，解得q=1或q=， …………………………………………4分

又由{an}为递减数列，于是q=，

∴ an=a1
=( )n． ……………………………………………………6分

（Ⅱ）由于bn=anlog2an=-n?( )n，

∴
，

于是
，

两式相减得：

∴
．

∴
≥
，解得n≤4，

∴ n的最大值为4． …………………………………………………………12分

18．解：（I）∵ 抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05，

∴
=0.05，解得x=60． ………………………………………………2分

∴ 持“无所谓”态度的人数共有3600-2100-120-600-60=720． ……… 4分

∴ 应在“无所谓”态度抽取720×=72人． ………………………… 6分

（Ⅱ）由（I）知持“应该保留”态度的一共有180人，

∴ 在所抽取的6人中，在校学生为
=4人，社会人士为
=2人，

于是第一组在校学生人数ξ=1，2，3， …………………………………… 8分

P(ξ=1)=
，P(ξ=2)=
，P(ξ=3)=
，

即ξ的分布列为：

ξ

1

2

3



P









??………………… 10分

∴ Eξ=1×
+2×
+3×
=2． …………………………………………… 12分

19．（I）证明：如图，作 FG∥EA，AG∥EF，连结EG交AF于H，连结BH，BG，

∵ EF∥CD且EF=CD，

∴ AG∥CD，

即点G在平面ABCD内．

由AE⊥平面ABCD知AE⊥AG，

∴ 四边形AEFG为正方形，

CDAG为平行四边形， …………………………………………………… 2分

∴ H为EG的中点，B为CG中点，

∴ BH∥CE，

∴ CE∥面ABF．……………………………………………………………… 4分

（Ⅱ）证明：∵ 在平行四边形CDAG中，∠ADC=90o，

∴ BG⊥AG．

又由AE⊥平面ABCD知AE⊥BG，

∴ BG⊥面AEFG，

∴ BG⊥AF．…………………………………………………………………… 6分

又∵ AF⊥EG，

∴ AF⊥平面BGE，

∴ AF⊥BE．…………………………………………………………………… 8分

（Ⅲ）解：如图，以A为原点，AG为x轴，AE为y轴，AD为z轴建立空间直角坐标系A-xyz．

则A(0，0，0)，G(1，0，0)，E(0，0，1)，D(0，2，0)，设M(1，y0，0)，

∴
，
，

设面EMD的一个法向量
，

则
令y=1，得
，

∴
．………………………………………………………… 10分

又∵
，

∴
为面AMD的法向量，

∴
，

解得
，

故在BC上存在点M，且|CM|=|
|=
．………………………12分

20．解：（I）设椭圆的标准方程为
(a>b>0)，焦距为2c，

则由题意得 c=
，
，

∴ a=2，
=1，

∴ 椭圆C的标准方程为
． ……………………………………… 4分

∴ 右顶点F的坐标为(1，0)．

设抛物线E的标准方程为
，

∴
，

∴ 抛物线E的标准方程为
． ………………………………………… 6分

（Ⅱ）设l1的方程：
，l2的方程
，

，
，
，
，

由
消去y得：
，

∴ x1+x2=2+
，x1x2=1．

由
消去y得：x2-(4k2+2)x+1=0，

∴ x3+x4=4k2+2，x3x4=1，……………………………………………………9分

∴

=

=|
|·|
|+|
|·|
|

=|x1+1|·|x2+1|+|x3+1|·|x4+1|

=(x1x2+x1+x2+1)+(x3x4+x3+x4+1)

=8+

≥8+

=16．

当且仅当
即k=±1时，
有最小值16．……………………13分

21．解：（I）∵
时，
，

∴
．

由题意，
≥0在
上恒成立，

当a=0时，
>0恒成立，即满足条件．

当a≠0时，要使
≥0，而ex>0恒成立，

故只需
≥0在
上恒成立，即

解得a<0．

综上，a的取值范围为a≤0．……………………………………………… 4分

（Ⅱ）由题知f(x)≤x+1即为
-
≤x+1．

①在x≥0时，要证明
-
≤x+1成立，

只需证
≤
，即证1≤
， ①

令
，得
，

整理得
，

∵ x≥0时，
≤1，结合a≥1，得
≥0，

∴
为在
上是增函数，故g(x)≥g(0)=1，从而①式得证．

②在x≤0时，要使
-
≤x+1成立，

只需证
≤
，即证1≤
， ②

令