舞阳一高2013-2014学年下学期第一次大考

高三年级数学试题（文科）

考试时间 120分钟 满分150分

第I卷（共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设不等式
的解集为
,函数
的定义域为N，则
为

A． [0，1） B．（0，1） C．[0，1] D．（-1，0]

2．如果复数
，则（　　）

|z|=2
z的实部为1
z的虚部为﹣1
z的共轭复数为1+i

3.已知等比数列
的公比
,且
，
,
成等差数列,则
的前8项和( )

A．127 B．255 C．511 D．1023

4.设
是两条直线，
是两个平面，则
的一个充分条件是

A．
B．

C．
D．

5. .阅读右边程序框图，为使输出的数据为30，则判断框中应填

人的条件为

A.i≤4　　　　　　 B. i≤5`　　　　C. i≤6 　　　　　　D. i≤7

6.在平面直角坐标平面上，
，且
与
在直线
上的射影长度相等，直线
的倾斜角为锐角，则
的斜率为 ( )

A．
B．
C．
D．

7. 已知椭圆C：
的左焦点为F，右顶点为A，其长轴长是焦距的4倍，且抛物线y2＝6x的焦点平分线段AF，则椭圆C的方程为

8.设函数

的图像关于直线
对称，它的周期是
，则（ ）

A．
的图象过点
B．
在
上是减函数[

C．
的一个对称中心是
D．
的最大值是A

9．一艘船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东300处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东750，且与它相距8
海里，则此 船的航速是

A. 24海里／小时　　B. 30海里／小时 C. 32海里／小时　　D. 40海里／小时

10.函数
与
的图像所有交点的横坐标之和为

A.
B.
C.
D.

11．如图，A，F分别是双曲线
的左顶点、右焦点，过F的直线l与C的一条渐近线垂直且与另一条渐近线和y轴分别交于P，Q两点．若AP⊥AQ，则C的离心率是( )

A．
B．
C．
D．

12.在三棱锥
中，
垂直于底面
，

于
，
于
，若
，
，则当
的面积最大时，
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题---第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题—第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。将正确答案写在答题纸上。

13. 已知曲线
的一条切线的斜率为
，则切点的横坐标为_______

14. 在平面直角坐标系中，不等式组
所表示的平面区域的面积是9，则实数a的值为＿＿＿＿．

15. 在
中，若
_________

16.数列
满足

，设
则
等于____________

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本题满分12分）

设
的三内角
的对边长分别为
,已知
成等比数列,且
.

(Ⅰ)求角
的大小；

(Ⅱ)设向量
,
,当
取最小值时,判断
的形状.

18．（本题满分12分）

如图，PA⊥平面ABC，AB⊥BC.AD垂直于PB于D， AE垂直于PC于E.PA＝，AB＝BC＝1.

(1)求证：PC⊥平面ADE；

(2)R为四面体PABC内部的点，BR∥平面AED，

求R点轨迹形成图形的面积.

19．（本题满分12分）

某食品厂对生产的某种食品按行业标准分成五个不同等级，等级系数X依次为A，B，C，D, E.现从该种食品中随机抽取20件样品进行检验，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：

(1)在所抽取的20件样品中，等级系数为D的恰有3件，等级系数为E的恰有2件，求a ,b, c的值；

(2)在（1)的条件下，将等级系数为D的3件样品记为x1 ，x2 ，x3，等级系数为E的2件样品记为y1 ，y2，现从x1，x2 ，x3，y1，y2这5件样品中一次性任取两件（假定每件样品被取出可能性相同），试写出所有可能的结果，并求取出的两件样品是同一等级的概率

20.(本题满分12分)

已知函数
(其中
).

(Ⅰ) 若
为
的极值点,求
的值；

(Ⅱ) 在(Ⅰ)的条件下,解不等式
；

21. (本题满分12分)

已知定点
,
,动点
,且满足
成等差数列.

(Ⅰ) 求点
的轨迹
的方程；

(Ⅱ) 若曲线
的方程为
(
),过点
的

直线
与曲线
相切,求直线
被曲线
截得的线段长的最小值.

请考生在第22、23、24题中任选一道作答，多答、不答按本选考题的首题进行评分．

22．（本题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ACD的外接圆交于BC于点E，AB＝2AC．（1）求证：BE＝2AD；

（2）当AC＝1,EC＝2时，求AD的长．

23.（本题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.

已知曲线C
：
（t为参数）， C
：
（
为参数）。

（1）化C
，C
的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（2）若C
上的点P对应的参数为
，Q为C
上的动点，求
中点
到直线
（t为参数）距离的最小值及此时Q点坐标.

24．（本题满分10分）选修4—5；不等式选讲．

已知
，设关于x的不等式
+

的解集为A.

（Ⅰ）若
,求
；（Ⅱ）若

, 求
的取值范围。

舞阳一高2013-2014学年下学期第一次大考

高三年级数学试题（文科）答案

1-5 A C B C A 6-10 C B C C B 11-12 D D

13．3 14．1 15． 0.5． 16.

17.解:(Ⅰ)因为
成等比数列,则
.由正弦定理得
.

又
,所以
.因为
,则
.

因为
,所以
或
. …………4分

又
,则
或
,即
不是
的最大边,故
. …………6分

(Ⅱ)因为
,

所以
.

所以当
时,
取得最小值. …………9分

此时
,于是
. 又
,从而
为锐角三角形. ……………………………12分

18、(1)PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.

又AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，则BC⊥AD.

又AD⊥PB，∴AD⊥平面PBC，

∴PC⊥AD，又PC⊥AE，∴PC⊥平面ADE.------------------6分

(2)过点B作BM∥DE交PC于点M，过M做MQ∥AE交AC于点Q，

则平面BMQ∥平面ADE.

∵BM∥DE，则＝＝，∴M为CE的中点.

∵MQ∥AE，∴点Q为AC中点.

∵BR∥平面AED，R为四面体PABC内部的点，

∴R的轨迹是△BQM内部的点.

∵BQ⊥QM，∴R点轨迹形成图形的面积为△BQM的面积，

S△BQM＝MQ·BQ＝××＝，

∴R点轨迹形成图形的面积为.----------------------------------------------------------12分

19、解：(1)由频率分布表得a＋0.2＋0.45＋b＋c＝1，即a＋b＋c＝0.35.

因为抽取的20件样品中，等级系数为D的恰有3件，所以b＝＝0.15.

等级系数为E的恰有2件，所以c＝＝0.1.

从而a＝0.35－b－c＝0.1.

所以a＝0.1，b＝0.15，c＝0.1.（6分）

(2)从样品x1，x2，x3，y1，y2中任取两件，所有可能的结果为：

(x1，x2)，(x1，x3)，(x1，y1)，(x1，y2)，(x2，x3)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x3，y1)，(x3，y2)，(y1，y2)，共计10个．

设事件A表示“从样品x1，x2，x3，y1，y2中任取两件，其等级系数相等”，

则A包含的基本事件为：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x3)，(y1，y2)，共4个．

故所求的概率P(A)＝＝0.4.（12分）

20.【解析】(Ⅰ)因为

…2分

因为
为
的极值点,所以由
,解得
……………3分

检验,当
时,
,当
时,
,当
时,
.

所以
为
的极值点,故
.……………6分

(Ⅱ) 当
时,不等式

,

整理得
,即
或
…8分

令
,
,
,

当
时,
；当
时,
,

所以
在
单调递减,在
单调递增,所以
,即
,

所以
在
上单调递增,而
；

故
；
,

所以原不等式的解集为
；………………………………12分

21.【解析】(Ⅰ)由
,
,

…………………2分

根据椭圆定义知
的轨迹为以
为焦点的椭圆,

其长轴
,焦距
,短半轴
,故
的方程为
. ……4分

(Ⅱ)设
:
,由过点
的直线
与曲线
相切得
,

化简得
(注:本处也可由几何意义求
与
的关系)…………6分

由
,解得
…………7分

联立
,消去
整理得
,…………………8分

直线
被曲线
截得的线段一端点为
,设另一端点为
,解方程可得
,

所以
……………………10分

(注：本处也可由弦长公式结合韦达定理求得)

令
,则
,

考查函数
的性质知
在区间
上是增函数,

所以
时,
取最大值
,从而
. ………… 12分

22、选修4-1 几何证明选讲

解：连接
因为
是圆的内接四边形，

所以
，又
，

所以
，即有
，又
，

所以
，又
是
的平分线，

所以
，从而
。 ……………5分

（2）由条件的
设
，

根据割线定理得
,

即
，

所以
即

解得
，或
（舍去），即
…………………10分

23（Ⅰ）
……………2分

为圆心是（
，半径是1的圆.

为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆. ……………5分

（Ⅱ）当
时，

为直线

从而当
时，
…………………（8分）

所以，此时