天津市天津一中2014届高三上学期第二次月考 理科数学

第I卷

选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知集合
，则
（ ）

A．
B．
C .
D．

2．函数
图象交点的横坐标所在区间是（ ）

A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）

3.命题“
”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）

A.
B.
　　　 C.
　　 　D.

4．已知m，n是两条不同直线，
是两个不同平面，给出四个命题：

①若
，则
②若
，则

③若
，则
④若
，则

其中正确的命题是（ ）

A．①② B．②③ C．①④ D．②④

5.将函数
的图象沿轴向左平移
个单位后,得到一个偶函数的图象,则的一个可能取值为（ ）

A.
B.
C.0 D.

6．函数
在点
处的切线斜率为，则
的最小值是（ ）

A. 10 B. 9 C. 8 D.

7．已知函数
定义域为
，且函数
的图象关于直线
对称，当
时，
，（其中
是
的导函数），若
，
，则
的大小关系是( )

A．
B．
C．
D．

8.已知
为上的可导函数，当
时，
，则关于的函数
的零点个数为（ ）

A.1 B.2 C.0 D.0或 2

第II卷

二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上）

9.已知
，是虚数单位. 若
, 则
______.

10．已知
,且
,则
的值为________.

11.设函数
，则满足
的的取值范围是

12 ．如图,在
中,
,
,过
作
的外接圆的切线
,
,
与外接圆交于点,则
的长为

13．已知O为△ABC的外心,
, 若
,且
,则

.

14. 若函数
对任意的
恒成立，则
.

三．解答题：（本大题共6小题，共80分）

15.已知：函数
的最小正周期为
（
），且当
时，函数
的最小值为0，（1）求函数
的表达式；

（2）在△ABC中，若

16. 为推进成都市教育均衡发展，某中学需进一步壮大教师队伍，拟准备招聘一批优秀大学生到本单位就业，但在签约前要对他们的师范生素质进行测试。在待测试的某一个小组中有男、女生共10人（其中女生人数多于男生人数），如果从中随机选2人参加测试，其中恰为一男一女的概率为
。（Ⅰ）求该小组中女生的人数；

（Ⅱ）假设此项专业技能测试对该小组的学生而言，每个女生通过的概率均为
，每个男生通过的概率均为
。现对该小组中男生甲．男生乙和女生丙3个人进行测试，记这3人中通过测试的人数为随机变量
，求
的分布列和数学期望。

17．已知在四棱锥
中，底面
是边长为4的正方形，
是正三角形，平面
平面
分别是
的中点.（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求平面
与平面
所成锐二面角的大小；

（Ⅲ）若
为线段
上靠近的一个动点，问当
长度等于多少时，直线
与平面
所成角的正弦值等于

18．已知数列
的前n项和为
，且
是
与2的等差中项，而数列
的首项为1，
．

(1)求
和
的值；

(2)求数列
，
的通项
和
；

(3)设
，求数列
的前n项和
。

19．已知数列
的前n项和为
，

（1）证明：数列
是等差数列，并求
；

（2）设
，求证：
.

20．已知函数

（1）讨论函数
在定义域内的极值点的个数；

（2）若函数
在=1处取得极值，对任意的∈（0，+∞），
≥
恒成立，求实数b的取值范围；

（3）当＞＞
时，求证：

参考答案：

1.C 2.C 3.C 4.B 5.B 6.B 7.B 8.C

9.

10.

11. [0，+）

12. 5

13. 10

14.

15.

（2）

而∠C∈(0，π), ∴∠C=
9分

在Rt△ABC中，

12分

16.

17.（1）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD

AB⊥AD

∴AB⊥平面PAD

又∵EF//AB ∴EF⊥平面PAD

取AD中点O，连结PO ∵平面PAD⊥平面ABCD

PO⊥AD ∴PO⊥平面ABCD

如图以O点为原点分别以OG、OD、OP所在直线为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系

∴O（0，0，0） A（0，-2，0） B（4，-2，0） C（4，2，0）

D（0，2，0） G（4，0，0） P（0，0，2
） E（0，-1，
）

F（2，-1，
）

设平面EFG的法向量为

∴平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为600

（3）

设

设直线MF与平面EFG所成角为θ

∵平面EFG的法向量为

18.

19.（1）证明：

同除以

20.

解：（Ⅰ）
，

①当a≤0时，f'（x）＜0在（0， +∞）上恒成立，

函数f（x）在（0，+∞）单调递减，

∴f（x）在（0， +∞）上没有极值点；

②当a＞0时，f'（x）＜0得
，f'（x）＞0得
，

∴f（x）在
上递减，在
上递增，

即f（x）在
处有极小值．

∴当a≤0时f（x）在（0，+∞）上没有极值点，

当a＞0时，f（x）在（0，+∞）上有一个极值点．……………………………………………4分

（Ⅱ）∵函数f（x）在x=1处取得极值，∴a=1，………………………………………………

∴
，…（6分）

令
，可得g（x）在（0，e2]上递减，在[e2，+∞）上递增，

∴
，即
．…………………………………………8分

（Ⅲ）证明：
，

令
，

则只要证明g（x）在（e﹣1，+∞）上单调递增，……………………

又∵
，

显然函数
在（e﹣1，+∞）上单调递增．

∴
，即g'（x）＞0，

∴g（x）在（e﹣1，+∞）上单调递增，

即
，

∴当x＞y＞e﹣1时，有
．…………………………………………………12分