天津市天津一中2014届高三上学期第二次月考 文科数学

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1．复数满足:
，则
（　　 ）

A．
B．
C．
D．

2. 下列结论错误的是（ ）

A．命题“若，则”与命题“若
则
”互为逆否命题;

B．命题
，命题
则
为真;

C．“若
则
”的逆命题为真命题;

D．若
为假命题，则、均为假命题．

3． 如下框图，当

时，
等于（ ）

A. 7 B. 8 C.10 D. 11

4．设
为直线,
是两个不同的平面,下列命题中正确的是（　 　）

A．若
,
,则
B．若
,
,则

C．若
,
,则
D．若
,
,则

5．集合
则实数a的取值

范围是（ ）

A.
B.

C.
D.

6．在平行四边形ABCD中, AD = 1,
, E为CD的中点. 若
, 则AB的长为( )

A.
B.
C.
D.

7．已知
则（ ）

A．
　　　　B．
C．
　　　 D．

8．已知
是定义在R上的偶函数，对任意
，都有
，且当
时在
，若
在
上有5个根
，则
的值为（ ）

A．7 B． 8 C．9 D．10

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上

9．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别

为1，2，3，则此球的表面积为_________________

10．一几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积为_______________

（　　）

11．函数
－１
的图像恒过定点A，若点A在直线
上，其中
的最小值为

12. 函数
（
）的最小正周期为，将函数
的图像上各点的横坐标缩短到原来的
，纵坐标不变，得到函数
的图像，则函数
在区间
上的最小值是_______________

13. 已知函数
,若
，则实数的取值

范围是__________________

14．设函数
，对任意
，
恒成立，则实数

的取值范围是_____________________

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤

15．（本小题满分13分）

以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中经X表示。

（Ⅰ）如果X=8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差

（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率。

16． （本小题满分13分）

已知
中，内角
的对边分别为
，且
，
．

（Ⅰ）求
的值 （Ⅱ）设
，求
的面积．

17．（本小题满分13分）

已知
是等比数列
的前项和，
，
，
成等差数列，且
.（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）是否存在正整数，使得
？若存在，求出符合条件的所有的集合；

若不存在，说明理由．

18．（本小题满分13分）

如图，在四棱锥
中，
底面
，
，
，是
的中点

（Ⅰ）证明
；

（Ⅱ）证明
平面
；

（Ⅲ）求二面角
的正弦值的大小

19．（本小题满分14分）

已知数列
的前项和为
，且对于任意的
，恒有
，

设
． （Ⅰ）求证：数列
是等比数列；

（Ⅱ）求数列
的通项公式
和
；

（Ⅲ）若
，证明：
．

20．（本小题满分14分）

已知函数
的图像在点
处的切线方程为
.

（Ⅰ）求实数、的值；

（Ⅱ）求函数
在区间
上的最大值；

（Ⅲ）曲线
上存在两点
、，使得△
是以坐标原点为直角顶点的直角三角形，且斜边
的中点在轴上，求实数的取值范围.

参考答案

1-8 D C B B C C C D

9.
10. 200+9π 11.4 12.1

13.
14.

15. 【解析】：

（Ⅰ）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，

所以平均数为
方差为

（Ⅱ）记甲组四名同学为A1，A2，A3，A4，他们植树的棵数依次为9，9，11，11；乙组四名同学为B1，B2，B3，B4，他们植树的棵数依次为9，8，9，10，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（A3，B1），（A2，B2），（A3，B3），（A1，B4），（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），（A4，B4），用C表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C中的结果有4个，它们是：（A1，B4），（A2，B4），（A3，B2），（A4，B2），故所求概率为

16.
（Ⅱ）由（I）知，
∴

∵
，由正弦定理
得

∴

17.

18.

（Ⅰ）证明：在四棱锥
中，因
底面
，
平面
，故

，
平面

而
平面
，

（Ⅱ）证明：由
，
，可得

是
的中点，

由（Ⅰ）知，
，且
，所以
平面

而
平面
，

底面
在底面
内的射影是
，
，

又
，综上得
平面

（Ⅲ）解法一：过点作
，垂足为
，连结
则（Ⅱ）知，
平面
，
在平面
内的射影是
，则

因此
是二面角
的平面角

由已知，得
设
，

可得

在
中，
，
，

则

在
中，

解法二：由题设
底面
，
平面
，则平面
平面
，交线为

过点
作
，垂足为，故
平面
过点作
，垂足为
，连结
，故
因此
是二面角
的平面角

由已知，可得
，设
，

可得

，

于是，

在
中，

19. 解（1）当
时，
，得
．

∵
，∴当
时，
，

两式相减得：
，∴
．

∴
，

∴
是以
为首项，2为公比的等比数列．

（2）由（1）得
，∴
．

∴
．

（3）
，
，

由
为正项数列，所以
也为正项数列，

从而
，所以数列
递减．

所以

．

另证：由
，

所以

．

20.

当
时，
，

当
时，
恒成立，
，

此时
在
上的最大值为
；

当
时，
在
上单调递增，且
.

令
，则
，所以当
时，

在
上的最大值为
；

当
时，
在
上的最大值为
.

综上可知，当
时，
在
上的最大值为；

当
时，
在
上的最大值为
.

⑶
，根据条件
，
的横坐标互为相反数，不妨设
，
，
.

若
，则
，

由
是直角得，
，即
，

即
.此时无解；

若
，则
. 由于
的中点在轴上，且
，所以
点不可能在轴上，即
. 同理有
，即
，
. 由于函数

的值域是
，实数的取值范围是
即为所求.