天津一中2013-2014-1高三年级一月考数学试卷（理科）

选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知全集为,集合
,
,则
( )

A.
B.

C.
D.

2．下列函数中，既是偶函数又在
单调递增的函数是 （ ）

A．
B．
C．
D．

3.下列有关命题的叙述，错误的个数为（ ）

①若p或q为真命题，则p且q为真命题。

②“
”是“
”的充分不必要条件。

③命题P： x∈Ｒ，使得x
＋x-1<0，则p : x∈Ｒ，使得x
＋x-1≥0。

④命题“若
，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x1或x2，则
”。

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

4．已知函数f（x）=asinx+acosx（a＜0）的定义域为[0，π]，最大值为4，则a的值为（　　）

A．

﹣

B．

﹣2

C．

﹣

D．

﹣4



5.若当
时，函数
始终满足
，则函数
的图象大致为(　　)

6. 已知函数
满足对任意的实数
都有
成立，则实数的取值范围为（ ）

A.
B.
C.

D.

7.设函数
的定义域为,若存在常数
，使
对于一切
均成立，则称
为“好运”函数。给出下列函数：①
； ②
；

③
； ④
。其中
是“好运”函数的序号是（ ）

A. ①② B.①③ C. ③ D.②④

8．定义在R上的函数
满足
，且
为偶函数，当
时，有（　　）

A.
B.

C.
D.

二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上）

9．设当
时,函数
取得最大值,则
______

10. 已知
且
，则
的最小值是

11 ．若关于实数的不等式
无解,则实数的取值范围是_________

12.已知函数
在区间
上是增函数，则实数的取值范围是 。

13． 设函数
若
有且仅有两个实数根,则实数的取值

范围是 .

14.如图,
为△
外接圆的切线,
的延长线交直线
于点,
分别为弦
与弦
上的点,且
,
四点共圆.若
,则过
四点的圆的面积与△
外接圆面积的比值

为
.

三．解答题：(本大题共6小题，共80分)

15.已知命题
对
，不等式
恒成立；命题


,使不等式
成立;若
是真命题，
是假命题，求的取值范围.

16.已知函数
.(1)若
，求
的值；

（2）设
，求函数
在区间
上的最大值和最小值。

17．已知函数
.

(Ⅰ) 求f(x)的单调递增区间;

(Ⅱ) 求f(x)在区间
上的最大值和最小值.

18. 某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在一次摸奖中,摸奖者先从装有
个红球与个白球的袋中任意摸出
个球,再从装有个蓝球与个白球的袋中任意摸出个球,根据摸出个球中红球与蓝球的个数,设一.二.三等奖如下:

奖级

摸出红.蓝球个数

获奖金额



一等奖

3红1蓝

200元



二等奖

3红0蓝

50元



三等奖

2红1蓝

10元





其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级.

(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率;

(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额
的分布列与期望
.

19． 设函数
，其中
为常数。

（Ⅰ）当
时，判断函数
在定义域上的单调性；

（Ⅱ）若函数
有极值点，求
的取值范围及
的极值点。

20.已知函数

（1）若曲线
，在点
处的切线与圆
相切，求
的取值范围；

（2）若
，讨论函数的单调性；

（3）证明：

参考答案：

1．C 2．C 3．B 4．D 5．B 6．B 7．C 8．A

9．
10.4

11．（-∞，8]

12．（
） [
）

13．[3，4）

14．

15．解：
对
，不等式
恒成立等价于

若是真命题，则
；

,使不等式
成立等价于

若是真命题则

所以若是真命题，是假命题，则

若是假命题，是真命题，则

综上,a的取值范围是

16． (1)

解：

（2）

17．

（1）

（2）

18．

19．解：（Ⅰ）由题意知，
的定义域为
，

∴当
时，
，∴函数
在定义域
上单调递增．

（Ⅱ）①由（Ⅰ）得，当
时，函数
无极值点．

②
时，
有两个相同的解
，

但当
时,
，当
时，

时，函数
在
上无极值点．

③当
时，
有两个不同解，

时，
，

而
,

此时
，
随在定义域上的变化情况如下表：





















减

极小值

增



由此表可知：当
时，
有惟一极小值点

ii) 当
时，0<
<1

此时，
，
随的变化情况如下表：





























增

极大值

减

极小值

增



由此表可知：
时，
有一个极大值是

和一个极小值点
；

综上所述：

当且仅当
时
有极值点;

当
时，
有极小值点
；没有极大值点

当
时，
有一个极大值点
和一个极小值点

20.

解：（1）∵
，∴f′（1）=1+2a+b，

其切线方程为y﹣（a+b）=（1+2a+b）（x﹣1），即（1+2a+b）x﹣y﹣1﹣a=0．

由切线与圆x2+y2=1相切可得

化为3a2+（2+4b）a+b2+2b+1=0，此方程有解，∴△=（2+4b）2﹣12（b2+2b+1）≥0，解得
或
．

①

②

③

④

⑤

（3）由（2）可知：当b=1时，当x＞1时，函数f（x）单调递减．

∴f（x）＜f（1），即lnx﹣x2+x＜0，令
，可得
．