2013~2014学年度高三第一次大练习

数学试题参考答案(文科)

1．D 因为UA＝{x|x≤1或x≥4}，所以(UA)∩B＝{1，4，5}．

2．B 依题意z＝＝－，∴|z|＝.

3．A 依题意知0＜n＜4，a＝，c2＝4，∴离心率e＝＝＝，∴n＝2.

4．B 函数f(x)的定义域为x≠0，当x>0时，f(x)＝－ln x2＝－2ln x，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，又f(－x)＝－ln (－x)2＝－ln x2＝f(x)，所以f(x)为偶函数，因而f(x)在(－∞，0)上单调递增．

5．C 由题意知圆心C到直线l的距离等于圆C半径的，即＝×2，解得m＝9或m＝－11(舍去)．

6．B 设中间一组的频数为x，则其他8组的频数和为x，所以x＋x＝140，解得x＝40.

7．D 不等式组表示的区域如图阴影部分，由z＝x－y得y＝x－z，可知直线的截距最大时，z取得最小值，过点A（3，5）时，z取最小值－2.

8．B 设正方形边长为1，阴影部分面积为S=2（1-）=2-，

∴豆子落在阴影部分的概率为2-.

9.D ∵k＝f′(x)＝x2－2bx＋3＝(x－b)2－b2＋3，∴－b2＋3＝－1，∵b>0，∴b＝2，

则f(2)＝，f′(2)＝－1，∴所求切线方程为y－＝－(x－2)，即x＋y－＝0.

10．A ∵在△ABC中，sin(A－B)cos B＋cos(A－B)sin B＝sin[(A－B)＋B]＝sin A≥1，

又∵sin A≤1，∴sin A＝1，A＝90°，∴可得△ABC为直角三角形；但当△ABC为直角三角形时，A不一定为90°，∴选A.

11．D S＝0，i＝1→S＝1，i＝2→S＝－1，i＝3→S＝2，i＝4→S＝－2，i＝5→S＝3，i＝6→S＝－3，i＝7→S＝4，i＝8→S＝－4，i＝9→S＝5，i＝10→S＝－5，i＝11.

12．A 作出函数f(x)＝的图象，直线y＝kx与函数y＝2－()x(x≤0)的图象有一个交点，故要使直线与函数f(x)有三个交点，只需直线y＝kx与函数y＝x2－x＋1(x>0)的图象有两个交点，即方程kx＝x2－x＋1(x>0)有两个根，即方程x2－2(1＋k)x＋2＝0的判别式Δ＝4(1＋k)2－8>0，所以k>－1或k<－－1，有函数图象可知k>0，所以k>－1.

13.π cos〈a，b〉＝＝＝－，即向量a、b的夹角为.

14．5.25 ＝－＝3.5＋0.7×2.5＝5.25.

15．(1，2) 将x＝3代入抛物线方程y2＝4x得y＝±2.

∵2＞2，∴A在抛物线内部．

设抛物线上点P到准线l：x＝－1的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，

当PA⊥l时，|PA|＋d最小，此时P点纵坐标为2，代入y2＝4x，得x＝1，

∴点P坐标为(1，2)．

16．± f(x)＝2sin x－cos x＝3sin(x－φ)(sin φ＝，cos φ＝)，因为x＝θ为函数对称轴，所以θ－φ＝kπ＋，k∈Z，则θ＝kπ＋＋φ，所以sin θ＝sin(kπ＋＋φ)＝，所以sin θ＝±.

17．解：(Ⅰ)由cos2－＝，得－＝，得(2cos A－1)2＝0，

即cos A＝，因为0

(Ⅱ)由cos B＝，得sin B＝，

由正弦定理＝，

得b＝＝＝.(12分)

18．解：(Ⅰ)当n＝1时，得λa＝2S1＝2a1，a1(λa1－2)＝0，∵a1≠0，∴a1＝，

当n≥2时，2an＝＋Sn，2an－1＝＋Sn－1，两式相减得an＝2an－1，所以数列是等比数列，通项公式为an＝a1qn－1＝.(6分)

(Ⅱ)当λ＝1000时，令bn＝lg，所以bn＝3－nlg 2，所以数列是递减的等差数列，公差为－lg 2.

则b1>b2>…>b9＝lg＝lg>lg 1＝0.

当n≥10时，bn≤b10＝lg＝lg

故数列{lg}的前9项和最大．(12分)

19．解：(Ⅰ)甲＝＝88.8，

乙＝＝90.2，

∵甲＜乙，

∴估计乙班的平均成绩更高．(6分)

(Ⅱ)20人中及格人数为10，其中甲班及格人数为4，从及格同学中抽取5人，则甲班应抽5×＝2人，

记甲班得分为95，98，106，108的同学为A1，A2，B1，B2，

则抽取其中2人，基本事件为(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(B1，B2)共6种情况，其中恰好抽到一个成绩为100分以上的同学共有4种情况．

故所求概率P＝＝.(12分)

20．解：(Ⅰ)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，

当a＝－2时，f′(x)＝2x－＝，

故f(x)的单调递减区间是(0，1).(5分)

(Ⅱ)由题意得g′(x)＝2x＋－，函数g(x)在[1，＋∞)上是单调函数.

①若g(x)为[1，＋∞)上的单调增函数，则g′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，

即a≥－2x2在[1，＋∞)上恒成立，设φ(x)＝－2x2，

∵φ(x)在[1，＋∞)上单调递减，

∴φ(x)max＝φ(1)＝0，

∴a≥0.

②若g(x)为[1，＋∞)上的单调减函数，则g′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，

即a≤－2x2在[1，＋∞)上恒成立，不可能．

∴实数a的取值范围是a≥0.(12分)

21．解：(Ⅰ)由（2分）

得所以椭圆方程为＋y2＝1.（4分）

(Ⅱ)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，设直线PQ的方程为x＝my＋t，代入＋y2＝1得(m2＋4)y2＋2mty＋t2－4＝0，（5分）

Δ＞0，

k1＝，k2＝，由＝7得＝7，

所以＝49，所以2＝49，（7分）

得＝49，得12x1x2＋25(x1＋x2)＋48＝0， ①

x1x2＝(my1＋t)(my2＋t)＝，

x1＋x2＝(my1＋t)＋(my2＋t)＝，

代入①得6t2＋25t＋24＝0，得t＝－，或t＝－(是增根，舍去)，（9分）

所以4（10分）

所以|y1－y2|2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝＝－36()2＋16×＝－36(－)2＋≤，当m2＝时取最大值.

所以S1－S2＝×3×|y1－y2|≤2，所以S1－S2的最大值为2.（12分）

22．证明：(Ⅰ)连结DE，

∵ACED为圆的内接四边形，∴∠BDE＝∠BCA，又∠DBE＝∠CBA，∴△BDE∽△BCA，即＝，而AB＝2AC，∴BE＝2DE.

又CD是∠ACB的平分线，∴AD＝DE，从而BE＝2AD.(5分)

(Ⅱ)由条件得AB＝2AC＝2，设AD＝t.

根据割线定理得BD·BA＝BE·BC，即(AB－AD)·BA＝2AD·2，∴(2－t)·2＝2t·2，解得t＝，即AD＝.(10分)

23．解：(Ⅰ)曲线M可化为y＝x2－1，x∈[－，]，

曲线N可化为x＋y＝t，

若曲线M，N只有一个公共点，

则当直线N过点(，1)时满足要求，此时t＝＋1，

并且向左下方平行运动直到过点(－，1)之前总是保持只有一个公共点，

当直线N过点(－，1)时，此时t＝－＋1，

所以－＋1

再接着从过点(－，1)开始向左下方平行运动直到相切之前总有两个公共点，相切时仍然只有一个公共点，

联立得x2＋x－1－t＝0，

Δ＝1＋4(1＋t)＝0，解得t＝－，

综上可求得t的取值范围是－＋1

(Ⅱ)当t＝－2时，直线N：x＋y＝－2.

设M上的点为(x0，x－1)，|x0|≤，

则曲线M上的点到直线N的距离为d＝＝4≥，当x0＝－时取等号，满足|x0|≤，所以所求的最小距离为.(10分)

24．解：(Ⅰ)原不等式等价于或或解得x≤－或 x∈?或 x≥，

∴不等式的解集为{ x|x≤－或x≥