合肥皖智高复学校2013~2014学年上学期第二次半月考

数学（文科）试题

第Ⅰ卷 选择题（共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1.集合
,
,则
( )

A．
B．
C．
D．

2.已知函数
的定义域为
,则函数
的定义域为

(A)
(B)
(C)
(D)

3.已知函数
，则

A.4 B.
C.-4 D-

4.设
,则“
”是“
”的 （　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5.设命题p:函数
的最小正周期为
;命题q:函数
的图象关于直线
对称.则下列判断正确的是 （　　）

A．p为真 B．
为假 C．
为假 D．
为真

6.已知定义在区间
上的函数
的图像如图所示,则
的图像为

7.


的最大值为( )

A.9 B.
C. D.

8.在下面哪个区间内函数
与函数
都为减函数（ ）

A.
B.
C.
D.

9. 函数
是定义在
内的奇函数，则
的取值范围为（ ）

A.
B.
C.
D.

10.函数
的零点个数为

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置）

11.方程
的解是_________.

12. 函数
且
的图像恒过定点 .

13. 函数
是幂函数，且在
上为增函数，则实数的值为 .

14.直线
与曲线
有四个交点，则的取值范围是 .

15.设
，若
恒成立，则k的最大值为 .

三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤）

16.（本小题满分12分）

已知

。

17.（本小题满分12分）

如图,某校有一块形如直角三角形
的空地,其中
为直角,
长
米,
长
米,现欲在此空地上建造一间健身房,其占地形状为矩形,且为矩形的一个顶点,求该健身房的最大占地面积.



18.（本小题满分12分）

已知p： x∈R，2x>m(x2＋1)，

q：
x0∈R，
，且p∧q为真，求实数m的取值范围．

19.（本小题满分12分）

已知函数
的图像上任意一点的切线中，斜率为2的切线有且仅有一条.

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）求函数
的极值.

20.（本小题满分14分）

若实数、、满足
，则称比接近.

（1）若
比3接近0，求的取值范围；

（2）对任意两个不相等的正数、，证明：
比
接近
；

（3）已知函数
的定义域
.任取
，
等于
和
中接近0的那个值.写出函数
的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）.

21. （本小题满分13分）

已知函数
．

（Ⅰ）求
的单调区间；

（Ⅱ）设
，证明：当
时，对任意
，总存在
，使得
成立．

合肥皖智高复学校2014届高三上学期第二次半月考

数学（文科）试题

第Ⅰ卷 选择题（共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

B

B

A

C

B

B

C

C

B



1.（2012年高考（陕西文））集合
,
,则
( ) （　　）

A．
B．
C．
D．

1. 解析:
,
,
,故选C.

解析:
.答案选C.

2.(2013大纲版数学)已知函数
的定义域为
,则函数
的定义域为

(A)
(B)
(C)
(D)

【答案】B

3.（2010湖北文）3.已知函数
，则

A.4 B.
C.-4 D-

【答案】B

【解析】根据分段函数可得
，则
，

所以B正确.

4.（2012年高考（天津文））设
,则“
”是“
”的 （　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4. 【解析】不等式
的解集为
或
,所以“
”是“
”成立的充分不必要条件,选A.

5. （2012年高考（山东文））设命题p:函数
的最小正周期为
;命题q:函数
的图象关于直线
对称.则下列判断正确的是 （　　）

A．p为真 B．
为假 C．
为假 D．
为真

5.解析:命题p和命题q都是假命题, 依据“或”“且”“非”复合命题的真假性真假性判断可知
为假命题.故答案应选C.

【答案】C

6.（2012年高考（湖北文））已知定义在区间
上的函数
的图像如图所示,则
的图像为

6.B【解析】特殊值法:当
时,
,故可排除D项;当
时,
,故可排除A,C项;所以由排除法知选B.

【点评】本题考查函数的图象的识别.有些函数图象题,从完整的性质并不好去判断,作为徐总你则提,可以利用特殊值法(特殊点),特性法(奇偶性,单调性,最值)结合排除法求解,既可以节约考试时间,又事半功倍.来年需注意含有
的指数型函数或含有
的对数型函数的图象的识别.

7.（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））


的最大值为( )

A.9 B.
C. D.

【答案】B

8.在下面哪个区间内函数
与函数
都为减函数（ ）

A.
B.
C.
D.

8. 解析：本题考查了二次函数的单调性、导数在函数单调区间的求法中的运用，
的导数
，解得
，故函数
的递减区间为
，函数
的递减区间为
. 选C.

9. 函数
是定义在
内的奇函数，则
的取值范围为（ ）

A.
B.
C.
D.

9. 解析：本题考查了函数的定义域、函数的奇偶性.解析式
有意义，则
，故
，又因为函数是奇函数，故
，则
. 选C.

10.（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））函数
的零点个数为

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

【答案】B

填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置）

11.（2012年高考（上海文））方程
的解是_________.

12. 函数
且
的图像恒过定点 .

12.

解析：当
时，不论在其规定范围内取何值，
，故函数图象恒过定点
.

13. 函数
是幂函数，且在
上为增函数，则实数的值为 .

13.

解析：本题考查了幂函数的概念及性质，幂函数的系数为1，得
，解得
或
，又因为函数在
上为增函数，可得
，故
.

14.（2010全国卷1理）直线
与曲线
有四个交点，则的取值范围是 .

15.设
，若
恒成立，则k的最大值为 ；

【答案】8

15.【解析】由题可知k的最大值即为
的最小值。又


，取等号的条件当且仅当
，即
。故
。

三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤）

16.（本小题满分12分）

已知

(1)求
; (2)求
。

。

答案

17.（本小题满分12分）

（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）如图,某校有一块形如直角三角形
的空地,其中
为直角,
长
米,
长
米,现欲在此空地上建造一间健身房,其占地形状为矩形,且为矩形的一个顶点,求该健身房的最大占地面积.



【答案】[解]如图,设矩形为
,
长为米,其中
,



健身房占地面积为平方米.因为
∽
,

以
,
,求得
,

从而

,

当且仅当
时,等号成立.

答:该健身房的最大占地面积为500平方米.

18.（本小题满分12分）

[2012·江西模拟]已知p：?x∈R，2x>m(x2＋1)，

q：?x0∈R，
，且p∧q为真，求实数m的取值范围．

解：2x>m(x2＋1)可化为mx2－2x＋m<0.

若p：?x∈R，2x>m(x2＋1)为真，

则mx2－2x＋m<0对任意的x∈R恒成立．

当m＝0时，不等式可化为－2x<0，显然不恒成立；

当m≠0时，有∴m<－1.

若q：?x0∈R，x＋2x0－m－1＝0为真，

则方程x2＋2x－m－1＝0有实根，

∴4＋4(m＋1)≥0，∴m≥－2.又p∧q为真，故p、q均为真命题．

∴－2≤m<－1.

19.（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）函数
的定义域为
，
.

设函数
在点
处的切线的斜率为2，则
，

即
.

欲使该方程在
内有且仅有一根，应满足
，解得
.

（Ⅱ）
，其定义域为
，
.

，解得
；
，解得
.

所以函数
的单调递增区间为
，递减区间为

所以函数有极小值
.

20.（本小题满分14分）

（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分4分，第3小题满分7分。

若实数、、满足
，则称比接近.

（1）若
比3接近0，求的取值范围；

（2）对任意两个不相等的正数、，证明：
比
接近
；

（3）已知函数
的定义域
.任取
，
等于
和
中接近0的那个值.写出函数
的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）.

解析：(1) x(((2,2)；(2) 对任意两个不相等的正数a、b，有
，
，因为
，所以
，即a2b(ab2比a3(b3接近
；(3)
,k(Z，f(x)是偶函数，f(x)是周期函数，最小正周期T((，函数f(x)的最小值为0，函数f(x)在区间
单调递增，在区间
单调递减，k(Z．

21. （本小题满分13分）

已知函数
．

（Ⅰ）求
的单调区间；

（Ⅱ）设
，证明：当
时，对任意
，总存在
，使得
成立．

21. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）
，

当
时，
，所以，
在
上单调递减，

当
时，由
，得
.

在区间
上，
，在区间
上

所以，函数
的单调递增区为
，单调递减区间为

所以，当
时，
在
上单调递减，

当
时，函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为

（Ⅱ）由已知，转化为

，由已知可知
，

当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，

故
的极大值即为最大值，
，

而
，故
，

所以
，故命题成立.