合肥皖智高复学校2013--2014届高三上学期第三次半月考

数学（理科）试题

命题人：汪老师 审卷人：曹老师

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若集合
，则N中的元素个数为（ ）

A.9 B.6 C.4 D.2

2．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）

A．
B．
C．
D．

3.函数
,则下列坐标表示的点一定在函数f(x)图象上的是（ ）

A．
B．
C．
D．

4．若
,则函数
的两个零点分别位于区间( )

A.
和
内 B.
和
内

C.
和
内 D.
和
内

5．如图是导函数y=f′（x）的图象，则下列命题错误的是（　　）

A．

导函数y=f′（x）在x=x1处有极小值

B．

导函数y=f′（x）在x=x2处有极大值



　

C．

函数y=f（x）在x=x3处有极小值

D．

函数y=f（x）在x=x4处有极小值



6．若曲线
与曲线
在交点
处有公切线， 则
( )

A．
B．
C． D．

7．将函数
的图像向左平移
个长度单位后，所得到的图像关
轴对称，则
的最小值是（ ）

A.
B.
C.
D.

8．已知函数
，若
，则实数的取值范围是 ( )

A．
或
B．

C．
或
D．

9. 函数
的定义域为D，若对任意
且
，都有
，则称函数
在D上为非减函数，设函数
在
上为非减函数，且满足以下三个条件：①
；②
；③
，则
等于（ ）

A.
B.
C. 1 D.

10．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，且满足xf′（x）﹣f（x）≥0，对任意正数a，b，若a＞b，则必有（　 ）

A．

af（a）≤bf（b）

B．

bf（b）≤af（a）

C．

af（b）≤bf（a）

D．

bf（a）≤af（b）





第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在答题卡上。

11.若周期为2的函数f（x）满足当x∈[1，3]时，
，且
，则ab的值为　　　．

12.设当
时，函数
取得最大值，则
　　　．

13．设
，则与
的大小关系是　　　．

14. 方程x3－3x＝k有3个不等的实根, 则常数k的取值范围是　　　　　　.

15. 关于函数
，有下列命题：

①其图象关于y轴对称；

②当x>0时，f(x)是增函数；当x<0时，f(x)是减函数；

③f(x)的最小值是lg2；

④f(x)在区间（－1，0）、（2,+∞）上是增函数；

⑤f(x)无最大值，也无最小值．

其中所有正确结论的序号是 ．

．

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）

设函数
，
图像的一条对称轴是直线
．

（1）求
及函数
的单调增区间

（2）证明：直线
与函数
的图像不相切．



17．（本小题满分12分）

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x2+2x．现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示，并根据图象

（1）写出函数f（x）（x∈R）的增区间；

（2）写出函数f（x）（x∈R）的解析式；

（3）若函数g（x）=f（x）﹣2ax+2（x∈[1，2]），求函数g（x）的最小值．











18．（本小题满分12分）

某海滨浴场的岸边可以近似的看成直线，位于岸边A处的救生员发现海中B处有人求救，救生员没有直接从A处游向B处，而是沿岸边自A跑到距离B最近的D处，然后游向B处。若救生员在岸边的行进速度是6米/秒，在海中的行进速度是2米/秒。（不考虑水流速度等因素）

（1）请分析救生员的选择是否正确；

（2）在AD上找一点C，使救生员从A到B的时间最短，

并求出最短时间.

19. （本小题满分12分） 设正有理数是
的一个近似值，令
．

（Ⅰ）若
，求证：

；

（Ⅱ）求证：比更接近于

20．（本小题满分13分）

设
（
且
）．

（Ⅰ）讨论函数
的单调性；

（Ⅱ）若
，证明：
时，
成立．

21．（本小题满分14分）

已知函数
（
）．

（1）若函数
在区间
上是单调递增函数，试求实数的取值范围；

（2）当
时，求证：
（
）；

（3）求证：

（
且
）．

数学试卷（理科）参考答案

C D B C C C B D A C

11. 24 12.
13.

14. -2

16.

解：（Ⅰ）∵
是函数y=f（x）的图象的对称轴，

∴
，∴
， ……………2分

∵
，∴
。 ……………4分

∴
。

由题意得
，

所以函数
的单调增区间为
。………7分

（Ⅱ）证明：∵｜
｜=|（
|=|
|≤2

所以曲线y=f（x）的切线的斜率取值范围是[-2,2]， ……………10分

而直线5x-2y+c＝0的斜率为
＞2，

所以直线5x-2y+c＝0与函数
的图象不相切。……………12分

17

解：（1）如图，根据偶函数的图象关于y轴对称，可作出f（x）的图象，（2分），

则f（x）的单调递增区间为（﹣1，0），（1，+∞）；（4分）

（2）令x＞0，则﹣x＜0，∴f（﹣x）=x2﹣2x

∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，

∴f（x）=f（﹣x）=x2﹣2x

∴解析式为f（x）=
（9分）

（3）g（x）=x2﹣2x﹣2ax+2，对称轴为x=a+1，

当a+1≤1时，g（1）=1﹣2a为最小；

当1＜a+1≤2时，g（a+1）=﹣a2﹣2a+1为最小；

当a+1＞2时，g（2）=2﹣4a为最小；

∴g（x）=
．









 18. 解析：（1）从A处游向B处的时间
，

而沿岸边自A跑到距离B最近的D处，然后游向B处的时间

而
，所以救生员的选择是正确的. ……4分

（2）设CD=x，则AC=300-x,
，使救生员从A经C到B的时间

……………………6分

，令

又
， ……………………9分

知
……………………11分

答：（略） …………………12分

19.证明：（I）

∵
，∴
，而
，

∴

； ………………（6分）

（II）∵

，

∵
，
，
，

∴
，即
，

∴比更接近于
． ………………（6分）

20．解：（Ⅰ）函数
的定义域为
，
，

当
时，
，∴函数
在
上是增函数；

当
时，
，又
；

由
得，
；由
得，

∴函数
在
上是增函数；在
上是减函数．………4分

（Ⅱ）当
时，
，

要证
时
成立，由于
，

∴只需证
在
时恒成立，

令
，则

设
，
，

∴
在
上单调递增，∴
，即
；

即
，使
在
上单调递减，在
上单调递增，

而
，

∴当
时，
恒成立，即原命题得证．………12分

21． （1）因为
，若函数
在区间
上是单调递增函数，则
恒成立，即
恒成立，所以
．

又
，则
，所以
．

（2）当
时，由（Ⅰ）知函数
在
上是增函数，

所以当
时，
，即
，则
．

令
，则有
，

当
时，有
，

因此
在
上是增函数，所以有
，

即可得到
．

综上有
（
）．

（3）在（2）的结论中令
，则
，

取
时，得到
个不等式，将所得各不等式相加得，

，

所以
，

即
（
且
）