合肥皖智高复学校2013--2014届高三上学期第三次半月考

数学（文科）试题

命题人:汪老师 审卷人：曹老师

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若集合
，则N中的元素个数为（ ）

A.9 B.6 C.4 D.2

2.“
”是“
”的 ( )

A充分不必要条件 B必要不充分条件

C充要条件 D既不充分也不必要条件

3．函数
,则下列坐标表示的点一定在函数f(x)图象上的是 ( )

A．
B．

C．
D．

4． 已知
，则
的值为 ( )

A．
B．
C．
D．

5．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）

A．
B．
C．
D．

6．若
,则函数
的两个零点分别位于区间( )

A.
和
内 B.
和
内

C.
和
内 D.
和
内

7．如图是导函数y=f′（x）的图象，则下列命题错误的是（　　）

A．

导函数y=f′（x）在x=x1处有极小值

B．

导函数y=f′（x）在x=x2处有极大值



　

C．

函数y=f（x）在x=x3处有极小值

D．

函数y=f（x）在x=x4处有极小值



8．若曲线
与曲线
在交点
处有公切线， 则
( )

A．
B．
C． D．

9．已知函数
，若
，则实数的取值范围是 ( )

A．
或
B．

C．
或
D．

10. 函数
的定义域为D，若对任意
，当
时都有
，则称函数
在D上为非减函数，设函数
在
上为非减函数，且满足以下三个条件：①
；②
；③
，则
等于（ ）

A.
B.
C. 1 D.

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在答题卡上。

11.若周期为2的函数f（x）满足当x∈[1，3]时，
，且
，则ab的值为　---．

12.设当
时，函数
取得最大值，则
--

13.函数
的零点的个数为 ．

14. 方程x3－3x＝k有3个不等的实根, 则常数k的取值范围是　　　　　　.

15. 下列命题正确的序号为 .

①函数
的定义域为
;

②定义在
上的偶函数
最小值为
;

③若命题
对
，都有
，

则命题

，有
;

④若
，
，则
的最小值为.

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．（12分）

已知函数
的最小正周期为π．

（1）求f（x）的解析式；

（2）求f（x）在区间
上的最大值和最小值及取得最值时x的值．



17．（12分）

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x2+2x．现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示，并根据图象

（1）写出函数f（x）（x∈R）的增区间；

（2）写出函数f（x）（x∈R）的解析式；

（3）若函数g（x）=f（x）﹣2ax+2（x∈[1，2]），求函数g（x）的最小值．





18．（本小题满分12分）

某海滨浴场的岸边可以近似的看成直线，位于岸边A处的救生员发现海中B处有人求救，救生员没有直接从A处游向B处，而是沿岸边自A跑到距离B最近的D处，然后游向B处。若救生员在岸边的行进速度是6米/秒，在海中的行进速度是2米/秒。（不考虑水流速度等因素）

（1）请分析救生员的选择是否正确；

（2）在AD上找一点C，使救生员从A到B的时间最短，

并求出最短时间.

19. （本小题满分12分）设正有理数是
的一个近似值，令
．

（1）若
，求证：

；

（2）求证：比更接近于
．

20.（本小题满分13分）已知函数
.

（1）讨论函数
的单调性；

（2）若对任意
及
时，恒有
成立，

求实数的取值范围.

21．(本小题满分14分)

已知函数
．

(1)若a>0，试判断
在定义域内的单调性；

(2)若
在[1，e]上的最小值为
，求a的值；

(3)若
在(1，+)上恒成立，求a的取值范围

参 考 答 案

CBBBD CCCDA

11. 24 12.
13. 1 14 -2

16. 解：（1）∵
，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）

=
=
﹣﹣﹣（3分）

=
．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）

∵
，∴ω=1，﹣﹣﹣﹣（5分）

∴
．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）

（2）∵
，∴
，即﹣1≤f（x）≤2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）

当
，即
时，f（x）min=﹣1，

当
，即
时，f（x）max=2．﹣﹣﹣﹣﹣（12分

17：

解：（1）如图，根据偶函数的图象关于y轴对称，可作出f（x）的图象，（2分），

则f（x）的单调递增区间为（﹣1，0），（1，+∞）；（5分）

（2）令x＞0，则﹣x＜0，∴f（﹣x）=x2﹣2x

∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，

∴f（x）=f（﹣x）=x2﹣2x

∴解析式为f（x）=
（10分）

（3）g（x）=x2﹣2x﹣2ax+2，对称轴为x=a+1，

当a+1≤1时，g（1）=1﹣2a为最小；

当1＜a+1≤2时，g（a+1）=﹣a2﹣2a+1为最小；

当a+1＞2时，g（2）=2﹣4a为最小；

∴g（x）=
．（16分）





18. 解析：（1）从A处游向B处的时间
，

而沿岸边自A跑到距离B最近的D处，然后游向B处的时间

而
，所以救生员的选择是正确的. ……4分

（2）设CD=x，则AC=300-x,
，使救生员从A经C到B的时间

……………………6分

，令

又
， ……………………9分

知
……………………11分

答：（略） …………………12分

19

证明：（I）

∵
，∴
，而
，

∴

； ………………（5分）

（II）∵

，

∵
，
，
，

∴
，即
，

∴比更接近于
． ………………

20.解: （Ⅰ）
………………………………………2分

①当
时，恒有
，则
在
上是增函数；………………………4分

②当
时，当
时，
，则
在
上是增函数；

当
时，
，则
在
上是减函数 …………………6分

综上，当
时，
在
上是增函数；当
时，
在
上是增函数，
在
上是减函数. …………………………………………………7分

(Ⅱ)由题意知对任意
及
时，

恒有
成立，等价于

因为
，所以

由（Ⅰ）知：当
时，
在
上是减函数

所以
…………………………………………………………………10分

所以
，即

因为
，所以
…………………………………………………12分

所以实数的取值范围为
………………………………………………………13

21.解　(I)由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，

且f′(x)＝＋＝. ………………………………………………2分

∵a>0，∴f′(x)>0，

故f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数． ………………………………4分

(II)由(I)可知，f′(x)＝.

①若a≥－1，则x＋a≥0，即f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，

此时f(x)在[1，e]上为增函数，

∴f(x)min＝f(1)＝－a＝，∴a＝－(舍去)． ………………………5分

②若a≤－e，则x＋a≤0，即f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，

此时f(x)在[1，e]上为减函数，

∴f(x)min＝f(e)＝1－＝，∴a＝－(舍去)． ………………………6分

③若－e

当1

当－a0，∴f(x)在(－a，e)上为增函数，

∴f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝，∴a＝－.

综上所述，a＝－. ………………………………………………8分

(Ⅲ)∵f(x)

又x>0，∴a>xln x－x3. ………………………………………………9分

令g(x)＝xln x－x3，h(x)＝g′(x)＝1＋ln x－3x2，…………………10分

h′(x)＝－6x＝.

∵x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，

∴h(x)在(1，＋∞)上是减函数．

∴h(x)

∴g(x)在(1，＋∞)上也是减函数．

g(x)

∴当a≥－1时，f(x)