2013—2014学年上期中考

14届 高三数学（理科）试题

说明： 1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）满分150分，考试时间120分钟。

2、将第Ⅰ卷的答案代表字母填（涂）在第Ⅱ卷的答题表（答题卡）中。

第Ⅰ卷 （选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2. 若复数满足：
(是虚数单位)，则的共轭复数
( )

A．
B．
C． D．

3. 某班有男生30人，女生20人．现按分层抽样的方法抽取

10人去参加座谈会，则女生应抽取人数为 ( )

A．6 B．4 C．5 D．3

4．已知双曲线
的一条渐近线与直线

垂直，则双曲线的离心率是 ( )

A．
B．
C．
D．

5. 如果执行右边的程序框图，且输入
，
，则

输出的
( )

A．240 B．120 C．720 D．360

6. 若
的展开式中
的系数为
，则常数
（ ）

A．1 B．3 C．4 D．9

7. 已知
是等差数列，且
，则

（ ）

A．14 B.21 C. 28 D. 35

8. 如右图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的

体积为( )

A．1 B．
C．
D．

9. 将一颗骰子掷两次，观察出现的点数并设第一次出现的点数为，第二次出现的点数为，向量
，
，则
与
共线的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 实数
满足条件：
，则
的最小值是（　　）

A．16 B. 4 C. 1 D.

11. 设锐角
的内角
对边分别为
，若
则
的取值范围是（　 ）

A．
B．
C．
D．

12. 设
的定义域为，若
满足下面两个条件则称
为闭函数：①
是上单调函数；②存在
，使
在
上值域为
. 现已知
为闭函数，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．

13. 已知向量
，
，
，若
，则
.

14. 由曲线
与
所围成的封闭图形的面积为 ．

15. 已知
，则
　 .

16. 给出下列命题：

①已知命题：
，命题：
，则命题
为真；

②函数
在定义域内有且只有一个零点；

③数列
满足：
，且
，则
；

④设
，则
的最小值为
.

其中正确命题的序号是 .

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. （本小题满分10分）

已知数列
满足
，
.

(Ⅰ)求数列
的通项公式；

(Ⅱ)设
，求数列
的前项和
.

18. （本小题满分12分）

如图，斜三棱柱
的底面是直角三角形，
，点
在底面内的射影恰好是
的中点，且
.

(Ⅰ)求证：平面
平面
；

(Ⅱ)若二面角
的余弦值为
，

设
，求
的值.

19. （本小题满分12分）

有甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表.

优秀

非优秀

总计



甲班

10







乙班



30





合计





105



已知在全部105人中抽到随机抽取1人为优秀的概率为
.

(Ⅰ)请完成上面的列联表；

(Ⅱ)根据列联表的数据，若按
的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系” ;

(Ⅲ)若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到6或10号的概率.

参考公式:

参考数据：

0.10

0.05

 0.025

 0.010





2.706

3.841

5.024

6.635





20. （本小题满分12分）

如图，已知椭圆
的焦点分别为
，双曲线
，设

为双曲线上异于顶点的任意一点，直线
和
与椭圆的交点分别为A、B和C、D.

(Ⅰ)设直线
、
的斜率分别为
、
，求：
的值；

(Ⅱ)是否存在常数
，使得
恒成立？

若存在，求
的值；若不存在，请说明理由.

21. （本小题满分12分）

已知函数
.

(Ⅰ)求函数
的单调区间；

(Ⅱ)记函数
的图象为曲线
.设点
,
是曲线
上的不同两点.如果在曲线
上存在点
，使得：①
；②曲线
在点
处的切线平行于直线
，则称函数
存在“中值相依切线”.试问：函数
是否存在“中值相依切线”，请说明理由.

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如右图，已知
与圆
相切于点，经过点
的割线
交圆
于点
，
的平分线分别交
于点
.

(Ⅰ)证明：
；

(Ⅱ)若
，求
的值.

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，以原点
为极点，以轴非负半轴为极轴，与直角坐标系
取相同的长度单位，建立极坐标系. 设曲线
的参数方程为
（
为参数），直线
的极坐标方程为
.

(Ⅰ)写出曲线
的普通方程和直线
的直角坐标方程；

(Ⅱ)求曲线
上的点到直线
的最大距离.

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

若不等式
对满足
的一切正实数

恒成立，求实数的取值范围.

2013—2014学年上期中考

14届 高三理科数学试题 答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

C

B

A

D

C

C

B

D

D

C

B



二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．

13.
14. 1 15.
16. ①②③④

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.解：（1）∵
，①

∴当
时，
，②

①－②得，
，∴
，③

又∵
也适合③式，∴
.

（2）由（1）知
，∴
，④

，⑤

④－⑤得，

， ∴

.

18. 解：(1)取
中点
，连接
，则
面
，

，

……………4分

（2）以
为
轴,
为
轴,过点
与面
垂直方向为
轴，建立空间直角坐标系……5分

设
，
则

即

设面
法向量

；面
法向量

…9分

……………11分
……………12分

合计

30

75

105



19. 解：(Ⅰ)

(Ⅱ)根据列联表中的数据，得到

因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”.

(Ⅲ)设“抽到6或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为（x，y）.

所有的基本事件有（1，1）、（1，2）、（1，3）、……、（6，6），共36个.

事件A包含的基本事件有：（1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、（5，1）（4，6）、（5，5）、（6、4），共8个
.

20. （Ⅱ）设
，则

因为点P在双曲线
上，所以

因此
，即

（Ⅲ）由于PF1的方程为
，将其代入椭圆方程得

由违达定理得

所以

同理可得
则

又

所以

故

因此，存在
，使
恒成立。

21. 解：（Ⅰ）显然函数
的定义域是
．

由已知得，
．

⑴当
时, 令
,解得
; 令
,解得
．

所以函数
在
上单调递增,在
上单调递减．

⑵当
时，

\①当
时，即
时, 令
,解得
或
;令
,解得
．所以，函数
在
和
上单调递增,在
上单调递减;

②当
时，即
时, 显然，函数
在
上单调递增；

③当
时，即
时, 令
,解得
或
;令
,解得
．所以，函数
在
和
上单调递增,在
上单调递减．

综上所述，地方有限, 略．……6分

（Ⅱ）假设函数
存在“中值相依切线”．

设
,
是曲线
上的不同两点，且
，

则
，
．

曲线在点
处的切线斜率


，

依题意得：

．

化简可得：

，即
=

．

设
（
），上式化为：
, 即
．

令
,

．因为
,显然
，所以
在
上递增, 显然有
恒成立．

所以在
内不存在,使得
成立．

综上所述，假设不成立．所以，函数
不存在“中值相依切线”.12分

22.解：（1）∵
是切线，
是弦，∴
，

∴
.

∵
，
，∴