2013—2014学年上期中考

14届 高三数学（文科）试题

说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）满分150分，考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．集合
，
，若
，则的值为

A．0 B．1 C．2 D．4

2．设
（是虚数单位），则

A．
B．
C．
D．

3．下列说法中，正确的是

A．命题“存在
”的否定是“对任意
”.

B．设
为两个不同的平面，直线
，则“
”

是 “
” 成立的充分不必要条件.

C．命题“若
，则
”的否命题是真命题.

D．已知
，则“
”是“
”的充分不必要条件.

4．执行右面的框图，输出的结果s的值为

A．
B． 2 C．
D．

5．平面向量
与
的夹角为60°，
，则
等于

A．
B．2
C．4 D．2

6．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是

A．
B．4 C．2 D．

7．要得到函数
的图象，只要将函数
的图象

A．向左平移
单位 B．向右平移
单位 C．向右平移
单位 D．向左平移
单位

8．若直线
上存在点
满足约束条件
，则实数a的最大值为

A．-1 B．1 C．
D．2

9．对数函数
(
)与二次函数
在同一坐标系内的图象可能是

10．设函数
的导函数为
，对任意
都有
成立，则

A．
B．

C．
D．
的大小不确定

11. 函数
在区间
(
)上存在零点，则
的值为

A．0 B．2 C．0或1 D．0或2

12. 已知
分别是双曲线

的左、右焦点，若
关于渐近线的对称点恰落在以
为圆心，
为半径的圆上，则双曲线
的离心率为

A．
B．3 C．
D．2

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题 5分，共20分.

13．若
，则
__________．

14．若直线
是曲线
斜率最小的切线，则直线
与圆
的位置

关系为 .

15. 已知正项等比数列{an}满足：a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得＝4a1，

则＋的最小值为 .

16. 定义:如果函数
在区间
上存在
，满足
，则称
是函数
在区间
上的一个均值点.已知函数
在区间
上存在均值点，则实数的取值范围是________.

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．设数列
满足
，
，且对任意
，函数
，满足
.

(Ⅰ)求数列
的通项公式; (Ⅱ)若
，求数列
的前项和
.

18. 有甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表.

优秀

非优秀

总计



甲班

10







乙班



30





合计





105



已知在全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为
.

(Ⅰ)请完成上面的列联表；

(Ⅱ)根据列联表的数据，若按
的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系” ;

(Ⅲ)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到6或10号的概率.参考公式:

0.10

0.05

0.025

0.010





2.706

3.841

5.024

6.635



参考数据：

19. 如图，在平面四边形ABCD中，已知
，

现将四边形ABCD沿BD折起，

使平面ABD平面BDC，设点F为棱AD的中点.

(1)求证:DC平面ABC;

(2)求直线
与平面ACD所成角的余弦值.

20. 给定椭圆
，称圆心在坐标原点
，半径为
的圆是椭圆
的“伴随圆”. 若椭圆
的一个焦点为
，其短轴上的一个端点到
距离为
.

(Ⅰ)求椭圆
及其“伴随圆”的方程;

(Ⅱ)若过点
的直线与椭圆C只有一个公共点，且截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为
，求的值;

(Ⅲ)过椭圆C的“伴椭圆”上一动点Q作直线
，使得
与椭圆C都只有一个公共点，当直线
都有斜率时，试判断直线
的斜率之积是否为定值，并说明理由.

21. 已知函数
.

(Ⅰ)当
时，求
的极值; (Ⅱ)当
时，讨论
的单调性;

(Ⅲ)若对任意的
恒有
成立，求实数的取值范围.

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22．选修4－1：几何证明选讲

如图，直线
为圆的切线，切点为，点
在圆上，
的角平分线
交圆于点，
垂直
交圆于点.

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）设圆的半径为，
，延长
交
于点，求Δ
外接圆的半径.

23．选修4－4；极坐标与参数方程

已知在平面直角坐标系
中，直线l过点P（1，-5），且倾斜角为
，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，半径为4的圆C的圆心的极坐标为
．

（Ⅰ）写出直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；

（Ⅱ）试判定直线l和圆C的位置关系．

24．选修4－5：不等式选讲

已知函数
，
.

（Ⅰ）当
时，求不等式
的解集；

（Ⅱ）设
，且当
时，
，求的取值范围.

2013—2014学年上期中考

14届 高三数学（文科）答案

一、选择题

D B C A B B C B A C D D

二、填空题

13.
14. 相切 15.  16. (0,2)

三、解答题

17. 解:由a

所以,

是等差数列. 而

(2)

18. 解：(Ⅰ)

优秀

非优秀

总计



甲班

10

45

55



乙班

20

30

50



合计

30

75

105



(Ⅱ)根据列联表中的数据，得到

因此95%的把握认为“成绩与班级有关系”.

(Ⅲ)设“抽到6或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为（x，y）.

所有的基本事件有（1，1）、（1，2）、（1，3）、……、（6，6），共36个.

事件A包含的基本事件有：（1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、（5，1）（4，6）、（5，5）、（6、4），共8个
.

19. (1)证明:在图甲中∵
且
∴
,
即

在图乙中,∵平面ABD平面BDC , 且平面ABD
平面BDC=BD

∴AB⊥底面BDC,∴AB⊥CD.

又
,∴DC⊥BC,且
∴DC平面ABC

(2)解:作BE⊥AC,垂足为E.

由(1)知平面ABC⊥平面ACD,又平面ABC平面ACD=AC,∴BF⊥平面ADC,

∴
即为直线
与平面ACD所成角.

设
得AB=
,AC=
.

∴
,
,
. ∴
.

∴直线
与平面ACD所成角的余弦值为
.

20. 解：（1）椭圆C方程为：
；椭圆C的“伴随圆”方程为
；

（2）设直线方程为：

因为截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为
，所以圆心到直线的距离为
.

又
得

（3）设
，直线

由（2）知

即

21. 解: (1) 当
时,

∴
在
上是减函数,在
上是增函数

∴
的极小值为
, 无极大值

(2)

① 当
时,
在
和
上是减函数,在
上是增函数;

②当
时,
在
上是减函数;

③ 当
时,
在
和
上是减函数,在
上是增函数

(3) 当
时,由(2)可知
在
上是减函数,

∴

由
对任意的
恒成立,

∴

即
对任意
恒成立,

即
对任意
恒成立,

由于当
时,
, ∴

22.解：（1）连接DE，交BC为G，由弦切角定理得，
，

而
.又因为
，所以DE为直径， DCE=90°，由勾股定理可得DB=DC.

（II）由（1），
，
，故
是
的中垂线，所以
，圆心为O，连接BO，则
，
，所以
，故外接圆半径为
.

24. 解：（I）当

设函数y=
，则

其图像如图

从图像可知，当且仅当x
时，y<0，所以原不等式的解集是
；

(II)当
不等式
化为

所以
对
都成立，故
，即

从而a的取值范围是