黄浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研

数学试卷（理科） 2014.1.9

考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．

2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1. 函数
的定义域是 ．

2．己知全集
，集合
，

，则

3．已知幂函数
存在反函数，且反函数
过点（2，4），则
的解析式是 .

4．方程
的解是 .

5．己知数列
是公差为2的等差数列，若
是
和
的等比中项，则
=________.

6．已知向量
，
,若
，则代数式
的值是　　　　　．

7. 三阶行列式

中元素4的代数余子式的值记为
，则函数
的最小值为

8. 各项都为正数的无穷等比数列
，满足
且
是增广矩阵
的线性方程组
的解，则无穷等比数列
各项和的数值是 _________.

9.
的二项展开式的常数项的值是__________．

10.把4个颜色各不相同的乒乓球随机的放入编号为1、2、3、4的四个盒子里 ．则恰好有一个盒子空的概率是 （结果用最简分数表示）

11. 将某个圆锥沿着母线和底面圆周剪开后展开，所得的平面图是一个圆和扇形，己知该扇形的半径为24cm，圆心角为
，则圆锥的体积是________
.

12．从某项有400人参加的群众性运动的达标测试中，随机地抽取50人的成绩统计成如下表，则400人的成绩的标准差的点估计值是 ．

分数

5

4

3

2

1



人数

5

15

20

5

5



设向量
，
，其中
，由不等式
恒成立，可以证明（柯西）不等式
（当且仅当
，即
时等号成立），己知
，若
恒成立，利用可西不等式可求得实数
的取值范围是

14．己知数列
满足
，则数列
的前2016项的和
的值是___________．

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.

15. 己知实数
满足
,则“
成立”是“
成立”的（ ）.

充分非必要条件． 　
必要非充分条件．

充要条件． 　 　
既非充分又非必要条件．

己知空间两条直线
，两个平面
，给出下面四个命题：

①
②
，

；

③
④

其中正确命题的序号是（ ）.

①④
②③
①②④
①③④

17. 某程序框图如图所示，现在输入下列四个函数，则可以输出函数是 （ ）.

己知
，下列结论正确的是

（ ）.

若
，则

若
，则

若
，则

若
（
为复数
的共轭复数），则
纯虚数。

三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分 ．

已知三棱柱ABC-
的侧棱长和底面边长均为2，
在底面ABC内的射影O为底面△ABC的中心，如图所示：

（1）联结
，求异面直线
与
所成角的大小；

（2）联结
、
，求三棱锥C1－BCA1的体积。

20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分 ．

已知函数
（
，c是实数常数）的图像上的一个最高点
，与该最高点最近的一个最低点是
，

(1)求函数
的解析式及其单调增区间；

(2)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为
，且
，角A的取值范围是区间M，当
时，试求函数
的取值范围.

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分10分 ．

我国西部某省4A级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施，据调查，修复好村民俗文化基础设施后，任何一个月内（每月按30天计算）每天的旅游人数
与第x天近似地满足
（千人），且参观民俗文化村的游客人均消费
近似地满足
（元）。

求该村的第x天的旅游收入
（单位千元，1≤x≤30，
）的函数关系；

若以最低日收入的20％作为每一天的计量依据，并以纯收入的5％的税率收回投资成本，试问该村在两年内能否收回全部投资成本？

22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题满分6分，第（2）满分6分,第（3）小题满分6分.

已知函数
（其中
是实数常数，
）

若
，函数
的图像关于点（—1，3）成中心对称，求
的值；

若函数
满足条件（1），且对任意
，总有
，求
的取值范围；

若b=0，函数
是奇函数，
，
，且对任意
时，不等式
恒成立，求负实数
的取值范围。

23． （本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分.

已知数列
，满足
，

，

（1）已知
，求数列
所满足的通项公式；

（2）求数列
的通项公式；

（3）己知
，设
＝

常数
,若数列
是等差数列，记
，

求
．

黄浦区2013学年度第一学期高三年级期终调研测试

数学试卷(理)

参考答案和评分标准(2014年1月10日)

一、填空题

1．
； 8．
；

2．
； 　　　　　　　 9．
；

3．
； 10．
；

4．
； 11．
；

5．
； 12．
；

6．
； 13．
；

7．
　； 14．(理科)
；

二、选择题：　15、C　　　16、A　　　17、B　　　18、C

三、解答题

19．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分６分，第2小题满分６分．

(理科)解(1) 联结
，并延长与
交于点
，则
是
边上的中线．

点
是正
的中心，且
平面
，

∴
且
．∴
． 　　　　　　　　

∴
．

又
，

∴异面直线
与
所成的角为
．

∴
即四边形
为正方形．

∴异面直线
与
所成角的大小为
．

(2)∵三棱柱的所有棱长都为２，

　∴可求算得
．

∴
，
．

　∴
． 　　　　　　

20．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分６分，第2小题满分６分．

解(1)∵
，

∴
.

∵
和
分别是函数图像上相邻的最高点和最低点，

∴
解得

∴
.

由
，解得
.

∴函数
的单调递增区间是
.

(2)∵在
中，
，

∴
.

∴
，即
.

∴
.

当
时，
，考察正弦函数
的图像，可知，
.

∴
，即函数
的取值范围是
.

21．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分．

解(1)依据题意，有

=

(2)
当
，
时，

(当且仅当
时，等号成立) .

因此，
(千元) .

当
，
时，
.

考察函数
的图像，可知
在
上单调递减，

于是，
(千元) .

又
，

所以，日最低收入为1116千元.

该村两年可收回的投资资金为
=8035.2(千元)=803.52(万元) .

因803.52万元
800万元，

所以，该村两年内能收回全部投资资金.

22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

解(1)

，

．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　类比函数
的图像，可知函数
的图像的对称中心是
．

　又函数
的图像的对称中心是
，

(2)由(1)知，
．

　依据题意，对任意
，恒有
．

　
若
，则
，符合题意．

　
若
，当
时，对任意
，恒有
，不符合题意．

　　所以
，函数
在
上是单调递减函数，且满足
．

因此，当且仅当
，即
时符合题意． 　

综上，所求实数
的范围是
．

(3)依据题设，有
解得

于是，
．

　由
，解得
．

　因此，
．

　考察函数
，可知该函数在
是增函数，故
．

　所以，所求负实数
的取值范围是
．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

(理科)解(1)
，

　　
．

　　
当
时，有
．

　　又

，
，

．

数列
的递推公式是

(2)由(1)可知，

，

　于是，有


．

．

　又
，可求得
．

　当
时，
，符合公式
．

数列
的通项公式
．

（说明：这里也可利用
，依据递推，得

　　　　
）

(3)由(2)知，
，
．又
是等差数列，

因此，当且仅当
是关于
的一次函数或常值函数，即
(
)．

于是，
，

，

．

所以，
．

(文科) 解(1)
，

∴
．

，分别令
，可得

　　
，

(2)猜想数列
的通项公式为
.用数学归纳法证明如下：

证明 (i)当
时，由(1)知结论成立；当
时，
,结论成立.

(ii)假设
时，结论成立，即
.

当
时，

.

所以，
，即
时，结论也成立.

根据(i)和(ii)可以断定，结论
对一切正整数
都成立.

(3)由(2)知，
，
． 于是，

，

．

所以，
．

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