闸北区2013学年度第一学期高三数学（理科）期末练习卷

考生注意：

1．本次测试有试题纸和答题纸，解答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效．

2．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚，并在规定区域内贴上条形码．

3．本试卷共有17道试题，满分150分．考试时间120分钟．

一、填空题（60分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分．

1．设
,
，若
是与
终边相同的最小正角，则
______．

2．已知双曲线
的右焦点与抛物线
的焦点重合，则
．

3．设
，
，则函数
的最小正周期为_______．

4．已知函数
则不等式
的解集为_______．

5．已知直线
的一个法向量
，其中
，则
的倾斜角为 ．

6．相距
米有两个垂直于水平地面的高塔
和
，两塔底
、
的中点为
，已知
米，
米，则
的值是 ．

7．设
，
，
，则下列不等式恒成立的有______．(填不等式序号)

①
；②
；③
．

8．若等差数列
的首项为2，公差为
，其前
项和
满足：对于任意的
，都有
是非零常数．则
．

9．设
，已知函数
(
)至少有5个零点，则
的取值范围为 ．

10．设曲线
：
，则曲线
所围封闭图形的面积为_______．

二、选择题（18分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得6分，否则一律得零分.

11．如果
，
，那么 【 】

A．
真包含于
B．
真包含于
C．
与
相等 D．
与
没有交集

12．在平面内，设
，
为两个不同的定点，动点
满足：
（
为实常数），则动点
的轨迹为 【 】

A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．不确定

13．给出下列等式：
，
，
，…，现设
（
，
），则
【 】

A．
B．
C．
D．

三、解答题（本题满分72分）本大题共有4题，解答必须在答题纸的规定区域内．

14．本题满分16分，第1小题满分6分，第2小题满分10分

设
的三个内角
的对边分别为
，满足：
．

（1）求角
的大小；

（2）若
，试判断
的形状，并说明理由．

15．本题满分18分，第1小题满分8分，第2小题满分10分

定义域为
的函数
，
．

（1）请分别指出函数
与函数
的奇偶性、单调区间、值域和零点；

（请将结论填入答题卡的表中，不必证明）

（2）设
，请判断函数
的奇偶性和单调性，并证明你的结论．

（必要时，可以（1）中的结论作为推理与证明的依据）

16．本题满分18分，第1小题满分8分，第2小题满分10分

如图所示：一块椭圆形状的铁板
的长轴长为4米，短轴长为2米．

（1）若利用这块椭圆铁板
截取矩形，要求矩形的

四个顶点都在椭圆铁板
的边缘，求所能截取

的矩形面积的最大值；

（2）若以短轴的端点
为直角顶点，另外两个锐

角的顶点
、
都在椭圆铁板的边缘，切割

等腰直角三角形，则在不同的切割方案中，

共能切割出几个面积不同的等腰直角三角形？

最大面积是多少？（结果保留一位小数）

17．本题满分20分，第1小题满分8分，第2小题满分12分

如图，在
轴的正半轴上依次有点
,其中点
、
,且

,在射线
上依次有点
,点
的坐标为
，且

.

（1）求点
、
的坐标；

（2）设四边形
面积为
，解答下列问题：

① 问
中是否存在连续的三项
,
,

（
）恰好成等差数列？若存在，求出所

有这样的三项；若不存在，请说明理由；

② 求满足不等式
的所有自然数
.

闸北区2013学年度第一学期高三数学（理科）期末练习卷

参考答案与评分标准

一、1．5； 2．6； 3．
； 4．
； 5．
；

6．
； 7．①③； 8．4； 9．
； 10．
．

二、11．C； 12．A；1 3．C．

三、14．解：（1）由条件结合正弦定理得，

从而
，
，----------------------------------------------4分

∵
，∴
．-------------------------------------------------------------2分

（2）∵

∴
， ∴
, ------------------------------------3分

即
,得到
, --------------------------------------3分

----------------3分

为等边三角形． -------------------------------------------------------------1分

15．解：（1）

奇偶性

单调区间

值域

零点





奇函数

R上单调递增

R







偶函数

在
上单调递减；

在
上单调递增



无



（2）
是奇函数． --------------------------------------------------------------1分

证明：任取
，
， ----------------------------2分

是奇函数． --------------------------------------------------------------1分

是R上的单调递增函数． -----------------------------------------------------------1分

证明：任取
即

又
------------------------------------------------------------1分

． ---------------------------------1分

是单调递增函数函数，且
，

． --------------------------------------------------------------1分

的值域为
，
恒成立．----------------------------------------1分

所以，
． --------------------------------------------------------------1分

故，
是R上的单调递增函数．

16．解：（1）建系（略），得椭圆的标准方程为
-------------------------------3分

设矩形的一个顶点坐标为

--------------------------------------------------------------4分

当且仅当
，即
时等号成立．-------------------------------------------1分

（2）设
所在的直线方程为：
，则
所在的直线方程为：
---2分

将
所在的直线方程代入椭圆方程，得

可求得，
--------------------------------------------------------------2分

同理可求得
，-----------------------------------------------------------1分

不妨设
，令
，得
，-----------------------------------1分

即
，

解得，
或
． --------------------------------------------------------------1分

当
时，所截取等腰直角三角形面积为2.6平方米；-----------------------------------------1分

当
时，所截取等腰直角三角形面积为2.1平方米．---------------------------------1分

所以，切割出的等腰直角三角形的最大面积约2.6平方米． -----------------------------------1分

17．（1）
, -----------------------------------------------1分

----------------------------------------------1分

的坐标
, -------------------------------------------------------------2分

(
)且
-----------------------------------1分

是以
为首项,
为公差的等差数列

---------------------------------------------------2分

的坐标为
. -------------------------------------------------------------1分

（2）连接
,设四边形
的面积为
,

则

.---------------------3分

① 设连续的三项
,
,
（
）成等差数列，

则有，
， -------------------------------------------------------------1分

即
，

解得
.

所以，存在连续的三项
,
,
恰好成等差数列. -------------------------------------------------2分

②

数列
是单调递减数列. -------------------------------------------------------------2分

由于

用计算器可知
，
.

由于数列
是单调递减数列，

所以，满足不等式
的所有自然数
为不小于9的所有自然数. --------------4分