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常州市教育学会学生学业水平监测

高三数学Ⅰ试题 2014年1月

参考公式：

样本数据
，
，… ，
的方差
，其中
=
．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

设集合
，
，则
= ▲ ．

若
（
，i为虚数单位），则
的值为 ▲ ．

已知双曲线
的一条渐近线方程为
，则a的值为 ▲ ．

某学校选修羽毛球课程的学生中，高一，高二年级分别有80名，50名．现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本，已知在高一年级学生中抽取了24 名，则在高二年级学生中应抽取的人数为 ▲ ．

某市连续5天测得空气中PM2.5（直径小于或等于2.5微米的颗粒物）的数据（单位：
）分别为115，125，132，128，125，则该组数据的方差为 ▲ ．

函数
的最小正周期为 ▲ ．

已知5瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁类饮料．从这5瓶饮料中随机取2瓶，则所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为 ▲ ．

已知实数
，
满足约束条件
则
的最大值为 ▲ ．

若曲线
：
与曲线
：
在
处的切线互相垂直，则实数a的值为 ▲ ．

给出下列命题：

（1）若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面；

（2）若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面；

（3）若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面；

（4）若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．

则其中所有真命题的序号为 ▲ ．

已知
，等比数列
中，
，
，若数列
的前2014项的和为0，则
的值为 ▲ ．

已知函数f(x)＝
若
，则实数k的取值范围为 ▲ ．

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
，
，则
▲ ．

在平面直角坐标系
中，已知圆O：
，点
，M，N为圆O上不同的两点，且满足
．若
，则
的最小值为 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．设向量
，
．

（1）若
，
，求角A；

（2）若
，
，求
的值．

16．（本小题满分14分）

如图，在直三棱柱
中，AB⊥BC，E，F分别是
，
的中点．

（1）求证：EF∥平面ABC；

（2）求证：平面
⊥平面
；

（3）若
，求三棱锥

的体积．

17．（本小题满分14分）

设等差数列
的公差为d，前n项和为
，已知
，
．

（1）求数列
的通项公式；

（2）若
，
为互不相等的正整数，且等差数列
满足
，
，求数列
的前n项和
．

18．（本小题满分16分）

在平面直角坐标系
中，椭圆E:
的右准线为直线l，动直线

交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为M，射线OM分别交椭圆及直线l于P，Q两点，如图．若A，B两点分别是椭圆E的右顶点，上顶点时，点
的纵坐标为
（其中
为椭圆的离心率），且
．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）如果OP是OM，OQ的等比中项，那么
是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由．

19．（本小题满分16分）

几名大学毕业生合作开设
打印店，生产并销售某种
产品．已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为
元，该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其它固定支出
元．假设该产品的月销售量
（件）与销售价格
（元/件）（
）之间满足如下关系：①当
时，
；②当
时，
．设该店月利润为
（元），月利润=月销售总额－月总成本．

（1）求
关于销售价格
的函数关系式；

（2）求该打印店月利润
的最大值及此时产品的销售价格．

20．（本小题满分16分）

已知函数
，
．

（1）当
时，求函数
的极大值；

（2）求函数
的单调区间；

（3）当
时，设函数
，若实数
满足：
且

，
，求证：
．