概率统计

1.(2013·武汉市部分学校联考)在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施
个程序，其中程序
只能出现在第一或最后一步， 程序
和
在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有（ ）

A．
种 B．
种 C．
种　 D．
种

【答案】C

2.(2013·河南省郑州市第一次质量预测)我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰截机起降飞行训练中，有
架歼
飞机准备着舰如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法

A.
B.
C.
D.

【答案】C

【解析】分三步：把甲、乙捆绑为一个元素
，有
种方法；
与戊机形成三个“空”，把丙、丁两机插入空中有
种方法；考虑
与戊机的排法有
种方法。由乘法原理可知共有



种不同的着舰方法。

3. (2013·安徽省池州市期末)2012年10月18日全国第二届绿色运动会在池洲隆垦开幕。本次大会的主题是“绿色、低碳、环保”，为大力宣传这一主题，主办方将这6个字做成灯笼悬挂在主会场（如图所示），大会结束后，要将这6个灯笼撤下来，每次撤其中一列最下面的一个，则不同的撤法种数为（ ）

A．36 B．54 C．72 D．90

【答案】D

【解析】

4.（ 2013·安徽省级示范高中名校联考）在棱长分别为1，2，3的长方体上随机选取两个相异顶点，若每个顶点被选的概率相同，则选到两个顶点的距离大于3的概率为（　　）

　A.
　　 B.
　　 C.
　　 D.

【答案】B

【解析】 从8个顶点中任取两点有
种取法，其线段长分别有1，2，3，
，
，
，
，①其中12条棱线，长度都
；②其中4条，边长(1, 2)对角线
；故长度
的有
，故两点距离大于3的概率
.

5.（2013·西工大附中适应性训练）已知某人每天早晨乘坐的某一班次公共汽车的准时到站的概率为
,则他在3天乘车中,此班次公共汽车至少有2天准时到站的概率为( )

A．
B．
C．
D．

【答案】C

【解析】设此班次公共汽车准时到站的天数为随机变量X，则此班次公共汽车至少有2天准时到站的概率P=

6.(2013·广州市调研)在区间
和
分别取一个数,记为
, 则方程
表示焦点在
轴上且离心率小于
的椭圆的概率为

A．
B．
C．
D．

【答案】B

【解析】方程
表示焦点在
轴且离心率小于
的椭圆时，有
，即
，化简得
，又
，
，画出满足不等式组的平面区域，如右图阴影部分所示，求得阴影部分的面积为
，故

7.(2013·湖南师大附中级月考5)如果一个
位十进制数
的数位上的数字满足“小大小大
小大”的顺序，即满足：
，我们称这种数为“波浪数”；从1,2,3,4,5组成的数字不重复的五位数中任取一个五位数
，这个数为“波浪数”的概率是（ ）

A.
B.
C.
D.

【答案】A

【解析】显然
中必有一个数字为5，由对称性，不妨先设
，则
.

若
，则
是
的任意排列都满足，即
种；

若
，则
是1,2的任意排列，且
，即2种；

则满足条件的概率是：

8.已知数列
满足
，一颗质地均匀的正方体骰子，其六 个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，将这颗骰子连续抛掷三次，得到的点数分别记为a,b,c则 满足集合{a,b,c}={a1,a2,a3}
的概率是（ ）

A.
B.
C.
D.

9.(2013·杭州市第一次质检)从0,1,2,3中任取三个数字，组成无重复数字的三位数中，偶数的个数是 (用数字回答)．

【答案】10

【解析】考虑三位数“没0”和“有0”两种情况。

　 　 (1)没0：2必填个位，
种填法；

(2)有0：0填个位，
种填法；

0填十位，2必填个位，
种填法；

所以，偶数的个数一共有
+
+
=10种填法。

10.（2013·蚌埠市第一次质检）如果随机变量
，且
，则
＝ ．

【答案】

【解析】根据对称性可知
，所以
。

11.(2013·丹东市四校协作体零诊)在长为10 cm的线段AB上任取一点C，并以线段AC为边作正方形，这个正方形的面积介于25 cm2与49 cm2之间的概率为　　．

12.（苏州市2011届高三调研测试）已知集合
,在
中可重复的依次取出三个数

，则“以
为边恰好构成三角形”的概率是 ▲ . 5.

【解析】“在
中可重复的依次取出三个数
”的基本事件总数为
，事件“以
为边不能构成三角形”分别为
所以

13．若
（
），求
的值．

解：由题意得：
， ………………………………………2

∴
，…………………………6

∵
…………………………8

∴
…………………………………………10

14.(2013·湖南师大附中第六次月考)已知
，
或
，

，对于
，
表示U和V中相对应的元素不同的个数．

（Ⅰ）令
，存在m个
，使得
，则m= ；

（Ⅱ）令
，若
，则所有
之和为 ．

【解析】：（Ⅰ）
；

（Ⅱ）根据（Ⅰ）知使
的
共有
个

∴
=

=

两式相加得
=

15、某车站每天上午发出两班客车，第一班客车在8∶00，8∶20，8∶40这三个时刻随机发出，且在8∶00发出的概率为，8∶20发出的概率为，8∶40发出的概率为；第二班客车在9∶00，9∶20，9∶40这三个时刻随机发出，且在9∶00发出的概率为，9∶20发出的概率为，9∶40发出的概率为．两班客车发出时刻是相互独立的，一位旅客预计8∶10到站．求：

（1）请预测旅客乘到第一班客车的概率；

（2）旅客候车时间的分布列；

（3）旅客候车时间的数学期望．

解：（1）第一班若在8∶20或8∶40发出，则旅客能乘到，其概率为

P=+=．………………………………………………3分

（2）旅客候车时间的分布列为：

候车时间（分）

10

30

50

70

90



概率





×

×

×



 ……………………………………………………………………………………6分

（3）候车时间的数学期望为

10×＋30×＋50×＋70×＋90×

=5＋＋＋＋=30． ……………………………………………………………9分

答：这旅客候车时间的数学期望是30分钟．……………………………………………10分

16. （南通市六所省重点高中联考试卷）计算机考试分理论考试与上机操作考试两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”则计算机考试“合格”并颁发“合格证书”．甲、乙、丙三人在理论考试中合格的概率分别为
，
，
；在上机操作考试中合格的概率分别为
，
，
．所有考试是否合格相互之间没有影响．

（1）甲、乙、丙三人在同一次计算机考试中谁获得“合格证书”可能性最大？

（2）求这三人计算机考试都获得“合格证书”的概率；

（3）用
表示甲、乙、丙三人在理论考核中合格人数，求
的分布列和数学期望
．

解：记“甲理论考试合格”为事件
，“乙理论考试合格”为事件
，“丙理论考试合格”为事件
， 记
为
的对立事件，
；记“甲上机考试合格”为事件
，“乙上机考试合格”为事件
，“丙上机考试合格”为事件
．

（1）记“甲计算机考试获得合格证书”为事件A，记“乙计算机考试获得合格证书”为事件B，记“丙计算机考试获得合格证书”为事件C，

则
，
，
，有
，

故乙获得“合格证书”可能性最大； ………………………………3分

（2）记“三人该课程考核都合格” 为事件
．

=
×
×
×
×
×
=
，

所以，这三人该课程考核都合格的概率为
． …………………6分

（3）用
表示甲、乙、丙三人在理论考核中合格人数，则
可以取0，1，2，3，

故
的分布列如下：

0

1

2

3



P（
）












的数学期望：

=0×
+1×
+2×
+3×
=
…………………10分

17、某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为
，
，
，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为
，
，
．

（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；

（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为
，求随机变量
的期望．

22、解：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件
，
，
，

（1）设
表示第一次烧制后恰好有一件合格，则

．……………5分

（2）解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为