2014年数学仿真模拟试卷一

试题Ⅰ

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.

1． 已知数集
中有3个元素，则实数
不能取的值构成的集合为 ▲ ．

2． 设集合
，则
▲ ．

3．已知
为正实数，满足
，则
的最小值为 ▲ ．

4. 在等腰直角△ABC中，过直角顶点C在
内部任作一条射线
，与线段
交于点
，则
的概率为 ▲ ．

5.已知
，则
的最小值为 ▲ ．

6. 过定点
(1,2)的直线在
正半轴上的截距分别为
,则4
的最小值为 ▲ .

7. 已知存在实数
，满足对任意的实数
，直线
都不是曲线
的切线，则实数
的取值范围是 ▲ ．

8. 在△ABC中，若
1，则
▲ ．

9. 设函数
对于任意
，都有
成立，则实数
= ▲ .

10. 已知
是首项为a,公差为1的等差数列,
.若对任意的
,都有
成立,则实数a的取值范围是 ▲ .

11. 在平面直角坐标系中，若点
同时满足：

①点
都在函数
图象上；②点
关于原点对称.

则称点对
是函数
的一个“姐妹点对”，

当函数
，
有“姐妹点对”时，
的取值范围是 ▲ .

12. 已知某四面体的六条棱长分别为
，
，
，
，
，
，则两条较长棱所在直线所成

角的余弦值为 ▲ ．

13. 设
为整数，方程
在区间
内有两个不同的根，

则
的最小值为　　　▲　　　　．

14. 在平面直角坐标系xOy中，过原点O的直线与函数
的图象交于A、B两点（A在B的左侧），分别过A、B作y轴的平行线分别与函数
的图象交于C、D两点，若BC//x轴，则四边形ABCD的面积为 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（14分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c

（1）求证：acosB+bcosA=c；

（2）若acosB﹣bcosA=
c，试求
的值．

16．（14分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB=BC=CA=
，AD=CD=1．

（1）求证：BD⊥AA1；

（2）若E为棱BC上的一点，且AE∥平面DCC1D1，求线段BE的长度．

17. 如图，海岸线MAN，
，现用长为6的拦网围成一养殖场，其中B∈MA C∈NA，．

（1）若BC=6，求养殖场面积最大值；

（2）若AB=2，AC=4，在折线MBCN内选点D，使BD+DC=6，求四边形养殖场DBAC的最大面积（保留根号）．

18.（16分）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知F1，F2分别是椭圆E：
的左、右焦点，A，B分别是椭圆E的左、右顶点，且
．

（1）求椭圆E的离心率；

（2）已知点D（1，0）为线段OF2的中点，M 为椭圆E上的动点（异于点A、B），连接MF1并延长交椭圆E于点N，连接MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q，连接PQ，设直线MN、PQ的斜率存在且分别为k1、k2，试问是否存在常数λ，使得k1+λk2=0恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

19（本题满分16分）定义在正实数集上的函数
满足下列条件：

①存在常数

，使得
； ②对任意实数
，当
时，恒有
．

（1）求证：对于任意正实数
，
；

（2）证明：
在
上是单调减函数；

（3）若不等式
恒成立，求实数
的取值范围．

20. 已知数列
中,
,
,前
项和
恒为正值，

且当
时,
.

（1）求证:数列
是等比数列.

（2）设
与
的等差中项为
,比较
与
的大小.

（3）设
是给定的正整数，
.现按如下方法构造项数为
有穷数列
：

当
时，
.

当
时，
.

求数列
的前
项和
.

参考答案

1.
；2.
；3.18 ；4.
；5. 16；6. 32； 7.
； 8. 1； 9. 1； 10 .
；

11.
； 12.
； 13.
； 14.
；

15：

证明：（1）∵acosB+bcosA=
=c

（2）由（1）acosB+bcosA=c

∵acosB﹣bcosA=
c

∴acosB=
，bcosA=

∴5cosAsinB=sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA

∴4sinBcosA=sinAcosB

∴
=4





16

证明：（1）取AC的中点O，连接DO，BO

由AD=CD，AB=BC可得

DO⊥AC，BO⊥AC，

故B、O、D三点共线

即BD⊥AC，

又∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD=AC，BD?平面ABCD

∴BD⊥平面AA1C1C

又∵AA1?平面AA1C1C

∴BD⊥AA1；

解：（2）∵AB=BC=CA=
，AD=CD=1

故∠DCA=∠DAC=30°，△ABC为等边三角形

∵AE∥平面DCC1D1，

AE?平面ABCD，平面ABCD∩平面DCC1D1=CD

故AE∥CD，故∠CAE=30°

根据等边三角形三线合一，可得AE为△ABC中BC边上的中线

故BE=
BC=





17：（1）设AB=x，AC=y，x＞0，y＞0．

BC2=x2+y2﹣2xycos
≥2xy﹣2xy（﹣
），

∴xy≤12，

S=
xysin
≤3

所以，△ABC面积的最大值为 3
，当且仅当x=y时取到．

（2）∵AB=2，AC=4，

BC=
=2
，

由DB+DC=6，知点D在以B、C为焦点的椭圆上，

∵S△ABC=2
为定值

只需故四边形养殖场DBAC的面积最大时，仅需△DBC面积最大，需此时点D到BC的距离最大，即D必为椭圆短轴顶点，

S△BCD面积的最大值为
，

因此，四边形ACDB面积的最大值为 2
+

18：

解：（1）∵
，∴
．

∴a+c=5（a﹣c），化简得2a=3c，

故椭圆E的离心率为
．

（2）存在满足条件的常数λ，
．

∵点D（1，0）为线段OF2的中点，∴c=2，从而a=3，
，

左焦点F1（﹣2，0），椭圆E的方程为
．

设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4），则直线MD的方程为
，

代入椭圆方程
，整理得，
．

∵
，∴
．

从而
，故点
．同理，点
．

∵三点M、F1、N共线，∴
，从而x1y2﹣x2y1=2（y1﹣y2）．

从而
．

故
，从而存在满足条件的常数λ，
．





19解：（1）证明：令
，

则
，

所以
，即证；（5分）

（2）证明：设
，

则必
，满足
，

而
，

即
，

所以
在
上是单调减函数.（10分）

（3）令
，

则
，

故
，即
，

所以
，又
，故
．（15分）

20解:⑴当
时,
,

化简得

,

又由
,
得
, 解得
,

∴
，也满足
,

而
恒为正值, ∴数列
是等比数列.

⑵
的首项为1，公比为
，
.当
时,
,

∴
.

当
时,
,

此时

当
时,

.

∵
恒为正值 ∴
且
,

若
,则
, 若
,则
.

综上可得,当
时,
；

当
时，若
，则
， 若
,则

⑶∵
∴
,当
时,
.

若
,则由题设得

若
,则

.

综上得：