松江区2013学年度第一学期高三期末考试

数学（文科）试卷

（满分150分，完卷时间120分钟） 2014.1

一、填空题 (本大题满分56分)本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．若函数

的反函数为
，则
▲ ．

2．若
，则
▲ ．

3．已知
，
，则
▲ ．

4．某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：
，
，
，
，
，则这组数据的方差为 ▲ ．

5．函数
的最小正周期为 ▲ ．

6．如图，正六边形
的边长为
，则

▲ ．

7．已知
为等差数列，其前
项和为
．若
，
，
，则
▲ ．

8．将直线
：
绕着点
按逆时针方向旋转
后得到直线
，则
的方程为 ▲ ．

9．执行如图所示的程序框图，输出的
= ▲ ．

10．若圆
和曲线
恰有六个公共点，则
的值是 ▲ ．

11．记
的展开式中含
项的系数，则
▲ ．

12．对于任意实数
，
表示不小于
的最小整数，如
．定义在
上的函数
，若集合
，则集合
中所有元素的和为 ▲ ．

13．设
是双曲线
的两个焦点，
是
上一点，若
且
的最小内角为
，则
的渐近线方程为 ▲ ．

14．对于定义在
上的函数
，有下述命题：

①若
是奇函数，则函数
的图像关于点
对称；

②若
是偶函数，则函数
的图像关于直线
对称；

③若2是
的一个周期，则对任意的
，都有
；

④函数
与
的图像关于
轴对称．

其中正确命题的序号是 ▲ ．

二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

15．某市共有400所学校，现要用系统抽样的方法抽取20所学校作为样本，调查学生课外阅读的情况．把这400所学校编上1～400的号码，再从1～20中随机抽取一个号码，如果此时抽得的号码是6，则在编号为21到40的学校中，应抽取的学校的编号为

A ．25 B．26 C．27 D．以上都不是

16．已知
，且
，则下列不等式中，正确的是

A．
B．
C．
D．

17．从
中随机选取一个数
，从
中随机选取一个数
，则关于
的方程
有两个虚根的概率是

A．
B．
C．
D．

18．下列四个命题，其中正确的是

①已知向量
和
，则“
” 的充要条件是“
或
”；

②已知数列
和
，则“
”的充要条件是“
或
”；

③已知
，则“
” 的充要条件是“
或
”；

④已知
，则“
” 的充要条件是“
或
”．

A．①② B．②③ C．①④ D．③④

三．解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分

已知集合
，

(1)当
时，求集合
；

⑵若
，求实数
的取值范围．

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

过椭圆
的左焦点
的直线
交椭圆于
、
两点．

⑴求
的范围；

⑵若
，求直线
的方程．

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

如图，相距200海里的A、B两地分别有救援A船和B船．在接到求救信息后，A船能立即出发，B船因港口原因需2小时后才能出发，两船的航速都是30海里/小时．在同时收到求救信息后，A船早于B船到达的区域称为A区，否则称为B区．若在A地北偏东
方向，距A地
海里处的
点有一艘遇险船正以10海里/小时的速度向正北方向漂移．

⑴求A区与B区边界线（即A、B两船能同时到达的点的轨迹）方程；

⑵问：

①应派哪艘船前往救援？

②救援船最快需多长时间才能与遇险船相遇？（精确到
小时）

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分

已知函数
．

⑴若
，解方程
；

⑵若函数
在
上单调递增，求实数
的取值范围；

⑶是否存在实数
，使得
在
上是奇函数或是偶函数？若存在，求出
的值，若不存在，请说明理由．

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分

对于数列
：
，若不改变
，仅改变
中部分项的符号，得到的新数列
称为数列
的一个生成数列．如仅改变数列
的第二、三项的符号可以得到一个生成数列
．

已知数列
为数列
的生成数列，
为数列
的前
项和．

⑴写出
的所有可能值；

⑵若生成数列
的通项公式为
，求
；

⑶用数学归纳法证明：对于给定的
，
的所有可能值组成的集合为：

．

松江区2013学年度第一学期高三期末考试

数学（文科）试卷参考答案

2014.1

一、填空题

1．3 2． 1

3．
4．0.032

5．
6．

7． 8 8．

9．102 10．3

11．2 12．-4

13．
14． ①②

二、选择题

15．B 16． C 17．A 18．D

三、解答题

19．解：

(1)由
, 得
，所以
…… 2分

当
时,

,……………………… 4分

∴
……………………… 6分

(2)
, ∴
， ………………………7分

若
，则
, ……………………… 8分

∴
即
………………………12 分

20．解：（1）易知
∴
， ……………1分

设
，则
……………………… 3分

∵

∴
………………5分

∵
∴
， ……………………… 6分

(2)设
、
两点的坐标为
、

①当
平行于
轴时，点
、
，此时
……8分

②当
不平行于
轴时，设直线
的斜率为
，则直线
方程为
，

由
得
………………… 9分

，
………………… 11分

=

得
，
………… 13分

故所求的直线方程为
………… 14分

21．

解：⑴设点
为边界线上的点，由题意知
，即
，

即动点
到两定点
、
的距离之差为常数，

∴点
的轨迹是双曲线中的一支。 ……… …………… 3分

由
得
，

∴方程为
（
） ………………… 6分

⑵①解法一：
点的坐标为
，
点的坐标为
，
点的坐标为
，∴
，
，
，∴点
在A区，又遇险船向正北方向漂移，，即遇险船始终在A区内，∴应派A船前往救援 …………………8分

②设经
小时后，A救援船在点
处与遇险船相遇。在
中，
，
………………… 9分

∴

整理得
，

解得
或
（舍） ………………… 13分

∴A救援船需
小时后才能与遇险船相遇． …………………14分

22．

解：（1）当
时，
, 故有,

, …………………2分

当
时，由
，有
，解得
或
…………………3分

当
时，
恒成立 …………………4分

∴ 方程的解集为
…………………5分

（2）
, …………………7分

若
在
上单调递增，则有

， 解得，
…………………9分

∴ 当
时，
在
上单调递增