厦门禾山中学、石狮永宁中学、南安柳城中学、晋江英林中学联合考试

2013-2014年度上学期高三数学（理科）试卷

组卷：洪少波 审核：吴艺团

第Ⅰ卷 选择题（共50分）

一.选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.全集
，
，则集合
( ).

A．{1，3} B．{0，1，3} C．{0，3} D．{2}

2.命题“
” 的否定是( ).

A.
B.
C.
D.

3.已知复数
的共轭复数
（
为虚数单位），则
在复平面内对应的点位于（ ）.

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

4.在等差数列
中,
,则
的前5项和
=（　　）.

A．7 B．15 C．20 D．25

5.向量
，
，且
∥
，则
( ).

A.
B.
C.
D.

6. 命题
：
在
上是增函数;

命题
：
（
且
）在
是减函数，则
是
的（ ）.

A．既不充分也不必要条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件

7. 函数
的图像大致为(　　).

8.设
若关于
的不等式
恒成立，则
的最小值为（ ）.

A．4 B．2 C．16 D．1

9.满足
,且使函数
有零点的有序数对的个数为（ ）.

A.10 B. 12 C. 13 D. 14

10.若函数
有两个极值点
,且
,则关于
的方程

的不同实根个数是（　　）.

A．3 B．4 C．5 D．6

第Ⅱ卷 非选择题（共100分）

二.填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．

11.计算：
= .

12.已知函数
,则
.

13.若数列{
}的前
项和为
，则数列{
}的通项公式是
=______.

14.函数
的图像如图所示，
为图像与

轴的交点，过点
的直线
与函数的图像交于
两点，

则
__________.

15.如果对于任意一个三角形，只要它的三边长
都在函数
的定义域内，则
也是某个三角形的三边长，则称函数
为“保三角形函数”.现有下列五个函数：①
；②
；③
；④
；⑤
.

则其中是 “保三角形函数”的有 （写出所有正确的序号）.

三．解答题：本大题共6小题，共80分. 把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.(本小题满分13分)

设向量
.

（I）若
且
,求
的值；

（II）设函数
,求
的最大值与最小值.

17.(本小题满分13分)

已知等比数列
满足：
,
.

（I）求数列
的通项公式；

（II）是否存在正整数
，使得
？若存在，求
的最小值；若不存在，说明理由.

18.(本小题满分13分)

甲厂以
千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求
），每小时可获得利润是
元.

（I）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求
的取值范围；

（II）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.

19.(本小题满分13分)如图，在
中，
,
，
为
内一点，
.

（I）若
，求
；

（II）若
，求
.

20.(本小题满分14分)已知
.

（I）讨论函数
的单调区间；

（II）若函数
在区间
上有两个零点，求
的取值范围；

（Ⅲ）
是
的图象上任意两点，且
，若总存在
，

使得
, 求证：
.

21. 本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题做答．如果多做，则按所做的前两题记分.

（1）已知矩阵
，若点
在矩阵
的变换下得到点
.

求矩阵
； 求矩阵
的特征值.

（2）已知直角坐标系
中，直线
的参数方程为
. 以直角坐标系
中的原点
为极点，
轴的非负半轴为极轴，圆
的极坐标方程为
.

求直线
与圆
的直角坐标方程； 判断直线
与圆
的位置关系.

（3）若
为正实数且满足
.

求
的最大值； 求
的最大值．

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2013-2014年度上学期高三数学（理科）试卷参考答案

一.选择题(每题5分).

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

B

C

D

B

C

D

D

A

C

A





二 .填空题(每题4分).

11.
12. -2； 13.
； 14. 8； 15. ①④.

三.解答题.

16.解: 由
-------------------------1分

----------------------------------2分

及
，得
.

又
，

.-----------------------------------5分

-----------------------------------------------6分

（2）

.-----------------11分

,

. ----------------------13分

17.解：（I）由已知条件得：
，
.-----------------1分

又
，
.--------3分

当
，此时
.---5分

当
，此时
.------------7分（II）若
，
，不存在这样的正整数
；-------10分

若
，
，不存在这样的正整数
.13分

18. 解:(1) 根据题意，
.---------------3分

又
，可解得
. ------------------------------5分

(2)设利润为
元，则
.-------11分

故
时，
元．--------------------------------13分

19．解（Ⅰ）由已知得，
，∴
.---------------------3分

在
中，
，
.----------6分

（Ⅱ）设
，由已知得，
，在
中，

由正弦定理得，
.------------------------------10分

化简得，
，

∴
=
，∴
=
. -------------------------------------13分

20.解:（1）
，令
. --------------------------1分

当
时，
上恒成立，所以
上单调递增.-3分

当
时，
.

所以，此时
.--------5分

（2）由（1）
不可能，依题意


.

所以
.--------------------------------------8分

（3）证明：

. ---------------------------------------10分

等式两边同除以
得
. --------------------------------12分

设
，则
，构造函数
.

下证:
.

.

------------------------------------------------------------------------------------- --14分

21．解：（1）

由


=
得
。

矩阵A


.-----------------------------------------------3分

由知A=

.

则矩阵A的特征多项式为

.

令
,得矩阵A的特征值为-1或3.---------------------------------7分

（2）由
可得
，代入
.

即
.-------------------------------------2分

由
可得圆
的方程为
，即
.-----4分

由可知圆
的圆心为
，半径
.

圆心到直线
的距离
.

.

直线
与圆
的位置关系为相离. -----------------------------------------------------------------7分

（3）

.

当且仅当
即
时等号成立。所以
的最大值为
.-3分

由柯西不等式，

当且仅当
即
时等号成立.

所以
的最大值为
. -----------------------------7分