沈阳二中2013-2014学年度上学期12月小班化学习成果

阶段验收高三（14届）数学(理科)试题

命题人：高三数学组 审校人：高三数学组

说明：1、测试时间：120分钟 总分：150分；

2、客观题涂在答题卡上，主观题答在答题纸的对应位置上

第Ⅰ卷(60分)

一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分。每题只有一个正确答案，将正确答案的序号涂在答题卡上.）

1 ．设
(
是虚数单位),则
（　　）

A．
B．
C．
D．

2 ．若非空集合A={x|
},B={x|3(x(22},则能使A(B,成立的所有a的集合是 （　　）

A．{a|1(a(9} B．{a|6(a(9} C．{a|a(9} D．(

3 ．函数
的反函数为 （　　）

A．
B．

C．
D．

4 ．等比数列
的前
项和为
,
,则
（　　）

A．54 B．48 C．32 D．16

5 ．已知：
均为正数，
，则使
恒成立的
的取值范围是 （ ） （　　）

B．
C．
D．

6 ．若
,则
（　　）

A．
B．
C．
D．

7 ．对于任意非零实数a、b、c、d,命题①
;②
③
;④
;⑤
.其中正确的个数是 （　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

8 ．已知平面
,则下列命题中正确的是 （　　）

A．

B．

C．

D．

9 ．已知双曲线
的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( ) （　　）

A．(1,2] B．(1,2) C．[2,+
) D．(2,+
)

10．若抛物线y2=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P的坐标为 （　　）

A．
B．
C．
D．

11．函数
的值域是 （　　）

A．[-1,1] B．

C．
D．

12．设函数
，其中
为正整数，则集合
中元素个数是 （　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．4个

第Ⅱ卷(90分)

二、填空题:（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．在等差数列
中,
是其前
项的和,且
,
,则数列
的前
项的和是__________?

14．已知点O为
的外心，且
,则
____________．

15．已知圆C的圆心与点P(-2,1)关于直线y=x+1对称,直线3x+4y-11=0与圆C相交于A,B两点,且|AB|=6,则圆C的方程为___________.

16．连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦
的长度分别等于
、
，每条弦的两端都在球面上运动，则两弦中点之间距离的最大值为___________．

三、 解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17．（本小题满分12分）在
中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且

(1)求
的值

(2)若
,求bc的最大值

18．（本小题满分12分）设数列
的前
项和为
已知

(I)设
,证明数列
是等比数列

(II)求数列
的通项公式．

19．（本小题满分12分）如图,在四棱锥
中,底面
四边长为1的 菱形,
,
,
,
为
的中点?

(Ⅰ)求异面直线AB与MD所成角的大小
;

(Ⅱ)求点B到平面OCD的距离?

20. （本小题满分12分）已知抛物线
的顶点是椭圆
的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合

求抛物线
的方程

已知动直线
过点
，交抛物线
于
两点，坐标原点O为
中点，求证
；

是否存在垂直于x轴的直线m被以
为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由。

21. （本小题满分12分）已知函数
（
为参数）

（1）若
，求函数
单调区间；

（2）当
时，求函数
的最小值；

（3）求证：

请考生在第22—24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分

22．（本小题满分10分）如图,AB是⊙O的直径,弦BD、CA的延长线

相交于点E,EF垂直BA的延长线于点F.

求证:(1)
;

(2)AB2=BE?BD-AE?AC.

23.已知直线
的参数方程为
（
为参数），曲线C的极坐标方程是
，以极点为原点，极轴为
轴正方向建立直角坐标系，点
，直线
与曲线C交于A、B两点．

(1)写出直线
的极坐标方程与曲线C的普通方程；

(2) 线段MA，MB长度分别记为|MA|，|MB|，求
的值．

24．（本小题满分10分）设关于
的不等式

(1)当
时,解这个不等式;

(2)若不等式解集为
,求
的取值范围;

沈阳二中2013-2014学年度上学期12月小班化学习成果

阶段验收高三（14届）数学(理科)答案

DBCDA DBDCB BA

填空题

13.
14. 6　 15.
16. 5

解答题

17 .

---------------------6分

当
时，bc的最大值是
---------------------------12分

18 解:(I)由
及
,有

由
,...① 则当
时,有
.....②

②-①得

又
,

是首项
,公比为2的等比数列.----6分

(II)由(I)可得
,

数列
是首项为
,公差为
的等比数列.

,
------------------12分

19解：方法一(综合法)

(1)

为异面直线
与
所成的角(或其补角)

作

连接

,

所以
与
所成角的大小为
-----------------------6分

(2)
点A和点B到平面OCD的距离相等, 连接OP,过点A作
于点Q,

又
,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离

,

,所以点B到平面OCD的距离为
--------------------12分

方法二(向量法)

作
于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为
轴建立坐标系

,

(1)设
与
所成的角为
,

,

与
所成角的大小为
---------------------------6分

(2)

设平面OCD的法向量为
,则

即
取
,解得

设点B到平面OCD的距离为
,则
为
在向量
上的投影的绝对值,

,
. 所以点B到平面OCD的距离为
-----------------------------12分

20. 解：（1）抛物线的焦点为
，
。所以抛物线的方程为
-----------3分

（2）设
由于O为PQ中点，则Q点坐标为（-4,0）

当
垂直于x轴时，由抛物线的对称性知

当
不垂直于x轴时，设
，

由

所以
--------------------------------------------------------------8分

设存在直线m：
满足题意，则圆心
，过M作直线x=a的垂线，垂足为E。设直线m与圆的一个交点为G，则
.即

当a=3时，
此时直线m被以AP为直径的圆截得的弦长恒为定值
。因此存在直线m：x=3满足题意。-----------------------------------------------------------12分

21.解：（1）
，定义域为

当
时，
，令
得

所以
的单调递增区间为
，单调递减区间为
------------------------4分

（2）

①当
时，
对
成立，所以
在区间
上单调递减，所以
在区间
上的最小值为

②当
时，；令

（ⅰ）若
，即
时，则
对
成立，所以
在区间
上单调递减，所以
在区间
上的最小值为

（ⅱ）若
时，
在
单调递减，在
单调递增，在
处有极小值。所以
在区间
上的最小值为

综上，得
------------------------------------------8分

（3）对
两边取对数，得

即
。令
，只要证

证明如下：由（1）知
时，
的最小值为

所以

又因为当
时，上式等号取不到，

所以
------------------------------------①

令

则
在
上是增函数

-----------------------------------------②

所以综合①②，得

令
则
，所以原不等式成立-----------------------------------12分

22 证明:

(1)连结AD

因为AB为圆的直径,所以∠ADB=90°,又EF⊥AB,∠EFA=90°

则A、D、E、F四点共圆

∴∠DEA=∠DFA-------------------------------5分

(2)由(1)知,BD?BE=BA?BF

又△ABC∽△AEF

∴

即:AB?AF=AE?AC

∴ BE?BD-AE?AC

=BA?BF-AB?AF

=AB(BF-AF)

=AB2

-------------10分

23.解（1）直线
的极坐标方程
， ……3分

曲线
普通方程
……5分

（2）将
代入
得
，……8分

……10分

24 解:(1)

当

得:

当

不成立

当

得:

∴不等式解集为
-----------------------5分

(2)

∴

∴若原不等式解集为
,则
-------------------------10分