数学试卷参考答案

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4．A　由＜1，得－1＝＜0，所以x＜－1或x＞2.因为“x＞k”是“＜1”的充分不必要条件，所以k≥2.

5．D　y＝＝≤，当且仅当4x＝，即x＝时等号成立．

6．A　依题得a＝a1a4＝(a2－3)(a2＋6)，解得a2＝6，所以a10＝a2＋8×3＝30.

7．C　∵sin(A＋)＝，∴A＋＝，即A＝，∵B＝，∴C＝，由＝?AB＝4.

8．D　函数y＝cos x的单调递增区间为[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，

由－π＋2kπ≤＋＜ωπ＋≤2kπ，k∈Z，解得4k－≤ω≤2k－，

又4k－－(2k－)≤0且2k－＞0，得k＝1，所以ω∈[，]．

9．D　y′＝x＋1，所以切线在点(2，4)处的斜率为3，切线方程为y－4＝3(x－2)，

令x＝0，得y＝－2，令y＝0，得x＝，所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为

S＝×|－2|×＝.

10．A　画出约束条件所表示的平面区域可知，该区域是由点A(1，2)，B(3，1)，C(4，2)所围成的三角形区域(包括边界)，u＝＝＝＋3.记点P(－1， 3)，

得kAP＝kBP＝－，kCP＝－，所以u＝的取值范围是[，]．

11．B　∵f′(x)＝x2＋2ax＋(a2－1)，

∴导函数f′(x)的图象开口向上．

又∵a≠0，∴其图象必为第(3)个图．

由图象特征知f′(0)＝0，且－a＞0，∴a＝－1，

∴f(x)＝x3－x2＋1，

故f(－1)＝－－1＋1＝－.

12．B　由题易知四棱锥O—ABCD的侧棱长为5，所以侧面中底边为6和2的斜高分别为4和2，所以棱锥O—ABCD的侧面积为S＝4×6＋2×2＝44.

13．－3　令log2(1－a)＋1＝3，得a＝－3，令a－2＝3，得a＝(舍去)，

所以a＝－3.

14．20　由三视图可知三棱锥的高为3，

底面积为×(5＋3)×5＝20，所以其体积为V＝×20×3＝20.

15.　因为
＝2，
＝
，所以
＝，
＝，所以
·＝(
－
)·(
－
)＝(－
)·(－
)＝2＋2－·＝×22＋×32－×2×3×＝.

所以(4n－1)<5×2n＋1，即2n(2n－30)<1，易知n的最大值为4.

17．解：(1)由cos2－＝，得－＝，得(2cos A－1)2＝0，

即cos A＝，因为0

(2)由cos B＝，得sin B＝，

由正弦定理＝，

得b＝＝＝.(10分)

18．解：(1)∵an＋1－2＝an，

∴an＋1－an＝2，即数列{an}是以2为首项，公差为2的等差数列，

∴Sn＝2n＋2×＝n2＋n.(3分)

∴由Sn＜56，得0＜n＜7且n∈N＋，

即使不等式Sn＜56成立的n的最大值为6.(6分)

(2)存在．由(1)知an＝2n，

∴a3＝6，a9＝18，又a1＝2，

则由b1＝a1，b2＝a3，b3＝a9，可得＝＝3，

即存在以b1＝2为首项，公比为3的等比数列{bn}，

其通项公式为bn＝2·3n－1.(12分)

19．证明：(1)连结AC交BE于O，并连结EC，FO.

∵BC∥AD，BC＝AD，E为AD中点，

∴AE∥BC，且AE＝BC，

∴四边形ABCE为平行四边形，

∴O为AC中点，又∵ F为PC中点，

∴OF∥PA，

∵OF?平面BEF，PA?平面BEF,

∴PA∥平面BEF.(6分)

(2)连结PE.

∵PA＝PD，E为AD中点，∴AD⊥PE.

∵BC∥AD，BC＝AD，E为AD中点，

∴BCDE为平行四边形，

∴BE∥CD，∵AD⊥CD，∴AD⊥BE，∵PE∩BE＝E,

∴AD⊥平面PBE，

∵PB?平面PBE，

∴AD⊥PB.(12分)

20．解：(1)∵f(0)＝0，∴c＝0.

∵对于任意x∈R都有f(－＋x)＝f(－－x)，

∴函数f(x)的对称轴为x＝－，即－＝－，得a＝b.

又f(x)≥x，即ax2＋(b－1)x≥0对于任意x∈R都成立，

∴a>0，且Δ＝(b－1)2≤0.

∵(b－1)2≥0，∴b＝1，a＝1.

∴f(x)＝x2＋x.(6分)

(2)由(1)知g(x)＝f(x)－λx＋1＝x2＋(1－λ)x＋1，

∵函数g(x)的对称轴为x＝，

若≤，即0＜λ≤2，函数g(x)在[，＋∞)上单调递增，

若＞，即λ＞2，函数g(x)在(，＋∞)上单调递增，在[，)上单调递减．

(12分)

21．解：(1)当0

当x≥80时，L(x)＝0.05×1000x－51x－＋1450－250＝1200－(x＋)．

∴L(x)＝(8分)

(2)当0

此时，当x＝时，即x＝100时，L(x)取得最大值1000万元．

所以，当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元．(12分)

22．解：(1)∵a＝1，∴f(x)＝xex－x(x＋1)＋2＝xex－x2－x＋2，

∴f′(x)＝(ex－1)(x＋1)，所以当－1

当x<－1或x>0时，f′(x)>0，

所以f(x)在(－1，0)上单调递减，在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增．(6分)

(2)由f(x)≥x2－x＋2，得x(ex－x)≥0，即要满足ex≥x，

当x＝0时，显然成立；当x>0时，即≥，记g(x)＝，则g′(x)＝，

所以易知g(x)的最小值为g(1)＝e，所以≤e，得a≤2(e－1)．(12分)