2013年秋期南阳市五校联谊高中三年级期中考试

数学试题（理）

考试说明：

1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）和答题卷三部分，其中第Ⅰ卷（选择题）1～3面，第Ⅱ卷（非选择题）3～4面，另附答题卷。共150分，考试时间120分钟。

2、答题前，务必将自己的姓名、考号填写在机读卡和答题卷规定的位置上；所有题目必须在答题卷上作答，在试题卷上答题无效。

3、请将本试卷第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分答案答在答题卷上指定区域内，超出答题区域的答案无效。用机读卡的同学直接把第Ⅰ卷（选择题）的答案用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

4、考试结束后，将答题卷和机读卡交上，试题卷自己保存。

第Ⅰ卷 （选择题共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．若集合A＝{x｜｜x｜＝x}，B＝{x｜
－x＞0}，则A∩B＝

A．[0，1] B．（－∞，0） C．（1，＋∞） D．（－∞，－1）

2．下列说法中，正确的是

A．命题“若a＜b，则a
＜b
”的否命题是假命题．

B．设α，β为两个不同的平面，直线lα，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不

必要条件．

C．命题“存在x∈R，
－x＞0”的否定是“对任意x∈R，
－x＜0”．

D．已知x∈R,则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件．

3．设a＝
，b＝
，c＝
，则a，b，c的大小关系是

A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．a＞c＞b

4．已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是

A．3 B．4 C．
D．

5．若f（x）＝
，则
＝

A．0 B．1 C．2 D．3

6．已知A（xA，yA）是单位圆上（圆心在坐标原点O）任意一点，射线OA绕O点逆时针旋转30°到OB交单位圆于点B（xB，yB），则xA－yB的最大值为

A．
B．
C．1 D．

7．函数f（x）＝Asin（ωx＋）（其中A＞0，｜｜＜
）的部分图象如图所示，为了得到g（x）＝cos2x的图象，则只要将f（x）的图象

A．向右平移
个单位长度

B．向右平移
个单位长度

C．向左平移
个单位长度

D．向左平移
个单位长度

8．如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD，2AB＝
BD，BC＝2BD，则sinC

的值为

A．
B．

C．
D．

9．已知－9，a1，a2，a3，－1成等比数列，－9，b1，b2，－1成等差数列，则a2（b1－b2）＝

A．－
B．8 C．－8 D．±8

10．已知函数f（x）＝x3＋3x，g（x）＝－f（｜x｜），若g（lgx）＞g（1），则x的取值范围是

A．（10，＋∞） B．（
，10）

C．（0，10） D．（0，
）∪（10，＋∞）

11．已知函数f（x）＝1＋x－
＋
－
＋…＋
则下列结论正确的是

A．f（x）在（0，1）上恰有一个零点 B．f（x）在（0，1)上恰有两个零点

C．f（x）在（－1，0）上恰有一个零点D．f（x）在（－1，0）上恰有两个零点

12．若f（x）＝－
＋b ln（x＋2）在（－1，＋∞）上是减函数，则b的取值范围是

A．[－1,＋∞） B．（－1，＋∞） C．（－∞，－1] D．（－∞，－1）

第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知两个不共线向量
，
，｜
｜＝2，｜
｜＝3，
·（
－
）＝1，则｜
－
｜＝_________．

14．已知实数x, y满足
，如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m等于_______________．

15．已知函数f（x）＝cosx，x∈（
，3π），若方程f（x）＝m有三个不同的实根，且从

小到大依次成等比数列，则m的值为_____________．

16．已知函数f（x）＝
－2x＋a有零点，则a的取值范围是_______________．

三、解答题（本大题6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足S＝

（
）

（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）求sinA＋sinB的最大值．

18．（本小题满分12分）

已知数列{
}的前n项和
＝－
＋kn（其中k∈N＋），且
的最大值为8．

（Ⅰ）确定常数k，并求
;

（Ⅱ）求数列{
}的前n项和
．

19．（本小题满分12分）

已知
＝（5
cosx，cosx），
＝（sinx，2cosx），设函数f（x）＝
·
＋｜
｜2＋
．

（Ⅰ）当x∈[
，
]，求函数f（x）的值域；

（Ⅱ）当x∈[
，
]时，若f（x）＝8，求函数f（x－
）的值.

20．（本小题满分12分）

已知等差数列{
}的首项a1＝1，公差d＞0．且a2，a5，a14分别是等比数列{
}的b2，

b3，b4．

（Ⅰ）求数列{
}与{
}的通项公式；

（Ⅱ）设数列{
}对任意自然数n均有
＋
＋…＋
＝
成立，求
＋
＋…＋
的值．

21．（本小题满分12分）

设函数f（x）＝－
＋
＋2ax

（Ⅰ）若函数f（x）在（
，＋∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围；

（Ⅱ）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]上的最小值为－
，求f（x）在该区间上的最大

值．

22．（本小题满分12分）

已知函数f（x）＝ln（x＋1）＋k
（k∈R）．

（Ⅰ）若函数y＝f（x）在x＝1处取得极大值，求k的值；

（Ⅱ）当x∈[0，＋∞）时，函数y＝f（x）图象上的点都在
所表示的区域内，求k的取值范围；

（Ⅲ）证明：
－ln（2n＋1）＜2，n∈N＋．