唐山一中2013—2014学年高三年级12月份调研考试

数学试题（理科）

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和II卷（非选择题）两部分，满分
分，考试时间
分钟。

2．答题前请仔细阅读答题卡（纸）上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题。

3．选择题答案涂在答题卡上，非选择题答案写在答题卡上相应位置，在试卷和草稿纸上作答无效。

第Ⅰ卷 选择题（共60分）

一.选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求,将正确答案填涂在答题卡上。

1．不等式
解集为Q，
，若
，则
等于（ ）

A.
B.
C.4 D. 2

2．设Sn为等比数列{an}的前n项和，若
，则
（　 ）

A.
B.
C.
D.

3. 已知直线l ⊥平面
，直线m?平面
，则“
∥
”是“l ⊥m”的（　 　）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件

4．已知命题p：?x∈（0，
），3x＞2x，命题q：?x∈（
，0），
，则下列命题为真命题的是（　 ）

A . p∧q B .（￢p）∧q C.（￢p）∧（￢q） D.p∧（￢q）

5. 直线x－2y－3=0与圆C：（x－2）2+（y+3）2=9交于E、F两点，则△ECF的面积为（ ）

A．
B.
C.
D.

6．已知向量
，若
，则
等于( )

A.
B.
C.
D.

7. 已知双曲线

的左、右焦点分别为
，以
为直径的圆与双

曲线渐近线的一个交点为
，则此双曲线的方程为（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为

9．函数
的图像为
，如下结论中错误的是（ ）

A．图像
关于直线
对称

B．图像
关于点
对称

C．函数
在区间
内是增函数

D．由
得图像向右平移
个单位长度可以得到图像

10. 已知函数
是偶函数，且
，当
时，
，则方程
在区间
上的解的个数是 （ ）

A．8 B．9 C．10 D．11

11. △ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且
，则
的值为（ ）

A.
B.1 C.
D.

12．定义在（0，
）上的函数
是它的导函数，且恒有
成立，则（　 ）

A.
B.

C.
D.

第Ⅱ卷 非选择题（共90分）

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡上相应位置。

13．抛物线
过点
，则点
到抛物线焦点的距离为 .

14．已知
满足约束条件
,点A(2，1)， B(x，y)，
为坐标原点，则
最大值时为 .

15．已知A、B、C是球O的球面上三点，∠BAC=90°，AB=2，BC=4，球O的表面积为
，

则异面直线
与
所成角余弦值为 .

16．已知函数
对于一切实数x,y均有
成立，

且
恒成立时，实数a的取值范

围是 ,

三．解答题：大本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）已知等差数列
中，公差
，其前
项和为
，且满足：

，
．

（1）求数列
的通项公式；

（2）令
，
，求
的最小值。

18．（本小题满分12分）已知a，b，c分别是
的三个内角A，B，C的对边，

(1)求A的大小；

(2)当
时，求
的取值范围．

19．（本小题满分12分）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA=AB=4，∠CDA=120°。

（1）求证：BD⊥PC；

（2）设E为PC的中点，点F在线段AB上，若直线EF∥平面PAD，求AF的长；

（3）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．

20．（本小题满分12分）某地区注重生态环境建设，每年用于改造生态环境总费用为
亿元，其中用于风景区改造为
亿元。该市决定制定生态环境改造投资方案，该方案要求同时具备下列三个条件：①每年用于风景区改造费用随每年改造生态环境总费用增加而增加；②每年改造生态环境总费用至少
亿元，至多
亿元；③每年用于风景区改造费用不得低于每年改造生态环境总费用的15%，但不得高于每年改造生态环境总费用的25%.

若
，
，请你分析能否采用函数模型y＝
作为生态环境改造投资方案。

21．（本小题满分12分）如图,已知椭圆
的长轴为AB,过点B的直线
与

轴垂直,椭圆的离心率
,F为椭圆的左焦点,且

求此椭圆的标准方程;

设P此椭圆上异于A,B的任意一点,
轴,H为垂足,延长HP到点Q,使得HP=PQ,连接AQ并延长交直线
于点
,
为
的中点，判定直线
与以
为直径的圆O位置关系。

22．（本小题满分12分）已知
．

（1）曲线y=f（x）在x=0处的切线恰与直线
垂直，求
的值；

（2）若x∈[a，2a]求f（x）的最大值；

（3）若f（x1）=f（x2）=0（x1＜x2），求证：
．

河北武邑中学2013—2014学年高三年级第三次调研考试

数学试题（理科）答案

一、D B A D B B A C C B D D

二、13.
14.
15.
16.

17解：（Ⅰ）∵　数列
是等差数列，

　　　　 ∴　
．又
，

　　　　 ∴　
，或
．

　　　　 ∵　公差
，∴　
，
．

　　　　 ∴　
，
．

　　　　 ∴　
．

（2）∵　
，

　　 ∴　

当且仅当
，即
时，
取得最小值36.

18解：（I）△ABC中，∵
，由正弦定理，得：
，

即 2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA，故2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，…（4分）

（2）由正弦定理得

，

19证明：（1）∵△ABC是正三角形，M是AC中点，

∴BM⊥AC，即BD⊥AC．

又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD．

又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．

∴BD⊥PC．

解:（2）取DC中点G,连接FG,则EG∥平面PAD,

又直线EF∥平面PAD,

所以平面EFG∥平面PAD,

FG∥平面AD

∵M为AC中点, DM⊥AC，

∴AD=CD．

∵∠ADC=120°, AB=4,

∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°,AD=CD=
,

∠DGF=60°,DG
, 得AF=1

解:（3）分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，

∴B（4，0，0），C
，
，P（0，0，4）．

为平面PAC的法向量．

，
．

设平面PBC的一个法向量为
，

则
，即
，

令z=3，得x=3，
，则平面PBC的一个法向量为
，

设二面角A﹣PC﹣B的大小为θ，则
．

所以二面角A﹣PC﹣B余弦值为
．





20解:∵
，

∴函数y＝
是增函数，满足条件①。

设
，

则
，

令
，得
。

当
时，
，
在
上是减函数；

当
时，
，
在
上是增函数，

又
，
，即
，
在
上是减函数，在
上是增函数，

∴当
时，
有最小值=16%>15%，

当
时，
=24%<25%,

时，
=25%
25%.

∴能采用函数模型y＝
作为生态环境改造投资方案。

21解：（1）可知，
，
，
，

，

,

得

椭圆方程为

（2）设
则

由
得
，

所以直线AQ的方程为
，

由
得直线
的方程为

由
，

又因为

所以

所以直线NQ的方程为

化简整理得到
，

所以点O直线NQ的距离
=圆O的半径，

直线
与以
为直径的圆O相切。

22（1）解：由
，

得：
，则
，

所以
得
。

（2）解：令f′（x）=0，得
，即x=alna．

由f′（x）＞0，得x＜alna，由f′（x）＜0，得：x＞alna．

∴f（x）在（﹣∞，alna]上为增函数，在[alna，+∞）上为减函数．

∴当a＞alna，即a＜e时，f（x）max=f（a）=a﹣e．

当a≤alna≤2a，即e≤a≤e2时，f（x）max=f（alna）=alna﹣a．

当2a＜alna，即a＞e2时，
．

（3）证明：由（2）知f（x）max=f（alna）=alna﹣a．

∵f（x1）=f（x2）=0，∴f（x）max=f（alna）=alna﹣a＞0．

∴lna＞1，得：a＞e，∴f（a）=a﹣e＞0，且f（alna）＞0．

得x2﹣x1＞alna﹣a，又
，
，

∴
．