本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）

1.已知命题：
（ ）

A．
B．

C．
D．

2．数列
中，若
，则该数列的通项
（ ）

A．
B．
C．
D．

3.在
中,若
,则
的形状一定是（　　）

A．等边三角形 B． 直角三角形

C．钝角三角形 D．不含
角的等腰三角形

4.已知
的最小值是，则二项式
展开式中
项的系数为（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 高三要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（ ）

A．1800 B．3600 C．4320 D．5040

7. 6张卡片上分别写有数字1，1，2，3，4，5，从中取4张排成一排，可以组成不同的4位奇数的个数为（ ）

A．180 B．126 C．93 D．60

8.已知
点C在∠AOB外且
设实数
满足

则
等于（　　）

A．2 B．
C．-2 D．-
9.能够把圆
:
的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆
的“和

谐函数”,下列函数不是圆
的“和谐函数”的是（　　）

A．
B．

C．
D．

10．点P是双曲线
左支上的一点，其右焦点为
，若
为线段
的中点, 且
到坐标原点的距离为
，则双曲线的离心率的取值范围是 ( )

A．
B．
C．
D．

11．已知函数
的两个极值点分别为
，且
，
，点
表示的平面区域为，若函数
的图像上存在区域内的点，则实数的取值范围是（　　）

A.
B.
C.
D.

12．设函数
的定义域为，若满足：①
在内是单调函数； ②存在

,使得
在
上的值域为
，那么就称
是定义域为的“成功函数”.若函数
是定义域为的“成功函数”，则的取值范围为 ( )

A.
B.
C.
D.

Ⅱ卷 非选择题 （共90分）

二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置）

13.对一个各边不等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色，则不同的染色方法共有________种（用数字作答）．

14.已知ΔABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,若a = 1, 2cosC + c = 2b,则ΔABC

的周长的取值范围是__________.

15.已知定义在上的偶函数
满足:
,且当

时,
单调递减,给出以下四个命题:

①
;

②
为函数
图像的一条对称轴;

③函数
在
单调递增;

④若关于的方程
在
上的两根
,则
.

以上命题中所有正确的命题的序号为_______________.

三、解答题（本题6个题， 共70分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置）

17.在
中，角
所对的边为
，且满足

（Ⅰ）求角的值；

（Ⅱ）若
且
，求
的取值范围．

18、已知数列{an}满足：
，
，

（Ⅰ）求

，并求数列{an}通项公式；

（Ⅱ）记数列{an}前2n项和为
，当
取最大值时，求的值．

20、如图，已知抛物线：
和⊙
：
，过抛物线上一点

作两条直线与⊙
相切于、两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心

点
到抛物线准线的距离为
．

（Ⅰ）求抛物线
的方程；

（Ⅱ）当
的角平分线垂直
轴时，求直线
的斜率；

（Ⅲ）若直线
在轴上的截距为
，求
的最小值．

21. 设
,
.

（Ⅰ）当
时,求曲线
在
处的切线的方程;

（Ⅱ）如果存在
,使得
成立,求满足上述条件的最大整数
;

（Ⅲ）如果对任意的
,都有
成立,求实数的取值范围.

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答。注意：只能做所选定题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。

22. 如图,在正△ABC中,点D,E分别在边AC, AB上,且AD=
AC

AE=
AB,BD,CE相交于点F.

（Ⅰ）求证:A,E,F,D四点共圆;

（Ⅱ）若正△ABC的边长为2,求A,E,F,D所在圆的半径.

23. 设

（Ⅰ）当
，解不等式
；

（Ⅱ）当
时，若
，使得不等式
成立，求实数的取值范围．

24. 已知曲线
的极坐标方程是
，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线
的参数方程为
（为参数）.

（Ⅰ）写出直线
的普通方程与曲线
的直角坐标方程；

（Ⅱ）设曲线
经过伸缩变换
得到曲线
，设
为曲线
上任一点，求
的最小值，并求相应点
的坐标。

2013～2014学年度上学期四调考试

高三年级数学（理科）答案

一、选择题

1-5 DCBAB 6-10 DBADB 11-12 AC

12．试题分析：无论
，还是
，都有
是增函数， 故
，

，所以方程
有两个根，

即
有两个根，设
，则直线
与函数
有两个交点，

画出这两个图象可以看出的取值范围是
，显然此时函数定义域为，选C.

二、填空题

13、30 14、
15、①②④ 16.

三、解答题

17、解：（1）由已知
得

，----------4分

化简得
，故
．----------6分

（2）由正弦定理
，得
，

故

----------8分

因为
，所以
，
，----------10分

所以
． ----------12分

18 解：（I）∵a1=20，a2=7，an+2﹣an=﹣2

∴a3=18，a4=5

由题意可得数列{an}奇数项、偶数项分布是以﹣2为公差的等差数列

当n为奇数时，
=21﹣n

当n为偶数时，
=9﹣n

∴an=
---------------------------------------------6分

（II）s2n=a1+a2+…+a2n

=（a1+a3+…+a2n﹣1）+（a2+…+a2n）

=

=﹣2n2+29n

结合二次函数的性质可知，当n=7时最大----------------------------------12分

19. 试题解析：（Ⅰ）以
分别为
轴建立空间直角坐标系

则

的一个法向量

，
。即
--------------------4分

（Ⅱ）依题意设
，设面
的法向量

则
，

令
，则
，面
的法向量

，解得
---------------------10分

为EC的中点，
，到面
的距离

------------------------------------------12分

法二：∵当
的角平分线垂直轴时，点
，∴
，可得
，
，∴直线
的方程为
，

联立方程组
，得
，

∵
∴
，
．

同理可得
，
，∴
．---------------------------6分

（3）法一：设
，∵
，∴
，

可得，直线
的方程为
，

同理，直线
的方程为
，

∴
，
，

∴直线
的方程为
，

令
，可得
，

∵关于
的函数在
单调递增， ∴
．------------------------------12分

法二：设点
，
，
．

以为圆心，
为半径的圆方程为
， ①

⊙
方程：
． ②

①-②得：

直线
的方程为
．

当
时，直线
在轴上的截距

，

∵关于的函数在
单调递增， ∴
． ------------------------12分

21. 【答案】(1)当
时,
,
,
,
,

所以曲线
在
处的切线方程为
;
2分

(2)存在
,使得
成立 等价于:
,

考察
,
,































递减

极小值

递增







由上表可知:
,

,

所以满足条件的最大整数
;
7分

(3)当
时,
恒成立等价于
恒成立,

22. 【答案】(Ⅰ)证明:∵AE=
AB, ∴BE=
AB,

∵在正△ABC中,AD=
AC, ∴AD=BE,

又∵AB=BC,∠BAD=∠CBE, ∴△BAD≌△CBE, ∴∠ADB=∠BEC,

即∠ADF+∠AEF=π,所以A,E,F,D四点共圆. ---------------------------5分

(Ⅱ)解:如图, 取AE的中点G,连接GD,则AG=GE=
AE,

∵AE=
AB, ∴AG=GE=
AB=
,

∵AD=
AC=
,∠DAE=60°, ∴△AGD为正三角形,

∴GD=AG=AD=
,即GA=GE=GD=
,

所以点G是△AED外接圆的圆心,且圆G的半径为
.

由于A,E,F,D四点共圆,即A,E,F,D四点共圆G,其半径为
. -------------------10分

23. （I）
时原不等式等价于
即
，

所以解集为
．---------------5分

（II）当
时，
，令
，

由图像知：当
时，
取得最小值
,由题意知：
，

所以实数的取值范围为
.-------------------10分

24. 试题解析：（1）

------------------------ 4分

（2）
：

设
为：

---------------- 7分

所以当
为(
)或

的最小值为1 ----------------10分