“华安、连城、永安、漳平一中，龙海二中，泉港一中”六校联考

2013-2014学年上学期第三次月考

高三数学（理）试题

（考试时间：120分钟 总分：150分）

★友情提示：要把所有答案都写在答题卷上，写在试卷上的答案无效。

一、选择题（每题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）

1．集合
，若
，则实数
的值为（ ）

A．
或
B．
C．
或
D．

2．在等差数列
中，
，
则
的前5项和
=（ ）

A．7 B．15 C．20 D．25

3．“
”是“
”的（ ）

A．充分不必要条件 B．既不充分也不必要条件

C．充要条件 D. 必要不充分条件

4．过抛物线y2=4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于（　）

A．10　 　B．8　 　 C．6　　 D．4

5．三角形ABC中,a=15,b=10,A=

,则
（　　）

A．

B．－
C．
D．

6. 已知双曲线
的一个焦点在圆
上,则双曲线的渐近线方程为（　　）

A．
B．
C．
D．

7．将函数
的图象向_________单位可得到函数
的图象。

A．向左平移
B．向右平移
C．向右平移
D．向左平移

8．已知函数

，则
、
、
的大小关系（ ）

A．
>
>
B．
>
>

C．
>
>
D．
>
>

9.已知
是非零向量且满足
则
的形状是（　　）

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形

10. 2010年，我国南方省市遭遇旱涝灾害，为防洪抗旱，某地区大面积植树造林，如图，在区域
内植树，第一棵树在
点，第二棵树在
点，第三棵树在
点，第四棵树在
点，接着按图中箭头方向，每隔一个单位种一颗树，那么，第2014棵树所在的点的坐标是（ ）

A.(9,44) B. (10,44) C.(10.43) D. (11,43)

二、填空题（每小题4分，共20分，.将答案填入答卷指定位置）.

1. 已知一元二次不等式
的解集为{
，则
的解集为 .

12．若函数f(a)＝(2＋sin x)dx，则f等于

13 ．设
满足约束条件
若目标函数
的最大值为1,则
的最小值为_________.

14．已知双曲线
的两条渐近线与抛物线
的准线分别交于
两点,
为坐标原点.若双曲线的离心率为2,
的面积为
,则
_________.

15. 对于三次函数
（
），给出定义：设
是函数
的导数，
是函数
的导数，若方程
有实数解
，则称点
为函数
的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心. 给定函数
，请你根据上面探究结果，计算

+
…+
+
= __________ .

三、解答题。(本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤)

16.（本题满分13分）设三角形ABC的内角
所对的边长分别为
,
,且
.

(Ⅰ)求角
的大小;

(Ⅱ)若ＡＣ＝ＢＣ，且
边上的中线
的长为
,求
的面积.

17.（本小题满分13分）已知函数
。

（Ⅰ）若
，求函数
的极值，并指出是极大值还是极小值；

（Ⅱ）若
，求证：在区间
上，函数
的图像在函数
的图像的下方。

18.（本题满分13分）等差数列
中,
,公差
,且它的第2项,第5项,第14项分别是等比数列
的第2项,第3项,第4项.

(Ⅰ)求数列
与
的通项公式;

(Ⅱ)设数列
对任意自然数均有
成立,求
的值.

19. （本小题满分13分）已知椭圆
的中心在原点
,离心率
,右焦点为
.

(Ⅰ)求椭圆
的方程;

(Ⅱ)设椭圆的上顶点为
,在椭圆
上是否存在点
,使得向量
与
共线?若存在,求直线
的方程;若不存在,简要说明理由.

20．（本小题满分14分）设数列
的前
项和为
，已知
(n∈N*)．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）求证：当x>0时，

（III）令
，数列
的前
项和为
．利用（2）的结论证明：当n∈N*且n≥2时，
.

21.（本小题满分14分）本题设有（1）、（2）、（3）三个小题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分。

（１）（本小题7分）选修4－2：矩阵与变换

已知二阶矩阵M有特征值λ1=4及属于特征值4的一个特征向量
并有特征值

λ2=-1及属于特征值-1的一个特征向量
(1)求矩阵M.(2)求M5α.

（2）（本小题7分）选修4－4：坐标系与参数方程

已知直线l过点P(2,0)，斜率为
直线l和抛物线y2=2x相交于A、B两点，设线段AB的中点为M,求：(1)|PM|； (2)|AB|.

（3）(本小题7分)选修4－5：不等式选讲.

若a,b,c均为正数，且a+b+c=6，

对任意x∈R恒成立，求m的取值范围.

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2013-2014学年上学期第三次月考

高三数学（理）试题答案及评分标准

1－5： CBDBD 6－10： BABDB

11. {
|
<－1，或
>1} .12. (＋1 13.4 14.2 15. 2013

16. 解：（１）由

……………………………………………1分

所以
………………………2分

则2sinBcosA=
sinB……………………………………………………4分

所以cosA=
　于是Ａ＝
……………………………………………6分

（2）由（1）知Ａ＝
，又ＡＣ＝ＢＣ，所以C=
………………7分

设ＡＣ＝x,则ＭＣ＝
，ＡＭ＝
，在
中，由余弦定理得

……………………………9分

即

解得x=2……………………………………………………………………11分

故
…………………………………………13分

17. (1)解 由于函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，……………… 1分

当a＝－1时，f′(x)＝x－
………… 2分

令f′(x)＝0得x＝1或x＝－1(舍去)， …………3分

当x∈(0,1)时，f′(x)<0， 因此函数f(x)在(0,1)上是单调递减的，………… 4分

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，因此函数f(x)在(1，＋∞)上是单调递增的，…… 5分

则x＝1是f(x)极小值点，

所以f(x)在x＝1处取得极小值为f(1)=
…………6 分

(2) 证明 设F(x)＝f(x)－g(x)＝
x2＋ln x－
x3，

则F′(x)＝x＋
－2 x2＝
， …………9分

当x>1时，F′(x)<0， ……………………… 10分

故f(x)在区间[1，＋∞)上是单调递减的，……………………… 11分

又F(1)＝－<0，………………………12分

∴在区间[1，＋∞)上，F(x)<0恒成立．即f(x)—g(x)<0 恒成立

即f(x)

因此，

当a＝1时，在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图像在函数g(x)图像的下方．…13分

18. 解：(Ⅰ)由题意得：（１+d）(1+13d)=
,d>0…………………1分

解得：d=2……………………………………………………………3分

所以
……………………………………………………4分

……………………………………………………………………6分

(Ⅱ)当n=1时，

当
，得
…………………………………9分

………………………………………………………………10分

………………13分

19. 【答案】解:(1)设椭圆
的方程为
,

离心率
,右焦点为
,

,

,

故椭圆
的方程为
……………………………………6分

(2)假设椭圆
上存在点
(
),使得向量
与
共线,

,
, …………………7分

(1) …………………8分

又
点
(
)在椭圆
上,

(2) ……………9分

由(1)、(2)组成方程组解得:
,或
, ……………………10分

当点
的坐标为
时,直线
的方程为
, ………………11分

当点
的坐标为
时,直线
的方程为
, ……12分

故直线
的方程为
或
………………………………13分

20、解（1）由
，得
（
）………………………2分

两式相减，得
，即
（
）

于是
，所以数列
是公差为1的等差数列…………..………………….3分

又
，所以
.

所以
，故
. …………………………………….5分

（2）令
，则
，7分

∴
在
时单调递增，
，即当
时，
….9分

（3）因为
，则当n≥2时，

. …………………11分

下面证

令
，由（2）可得
，所以

，
，……，

以上
个式相加，即有

∴
…………………………………14分

21. （1）.【解析】(1)设M=

则
∴
①

又
∴
②

由①②可得a=1,b=2,c=3,d=2，∴M=
…………………………4分

(2)易知
∴
…………………………7分

（2）.【解析】(1)∵直线l过点P(2，0)，斜率为

设直线的倾斜角为α,tanα=
sinα=
cosα=

∴直线l的参数方程为
(t为参数)(*) ……………………1分

∵直线l和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程y2=2x中，整理得

8t2－15t－50＝0,且Δ=152+4×8×50>0,

设这个一元二次方程的两个根为t1、t2,

由根与系数的关系，得t1＋t2＝
t1t2＝
…………………3分

由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，

得
………………………4分

(2)|AB|＝|t2－t1|

＝
…………………7分

（3）解析：