湖南省雅礼中学2014届高三上学期第三次月考试卷

数学理

一．选择题

1.已知复数z满足z（1+i）=i，则复数z为（ A ）

A．
B．
C．1+i D．1-i

2. 幂函数y＝f(x)的图像经过点(4，)，则f()的值为(　B　)[来

A．1　　　 B．2 C．3 D．4

3. 已知随机变量
服从正态分布
，若
，则

A ．
B．
C．
D．

答案：B

4. 下列有关命题的说法正确的是 ( D )

A．命题“若
，则
”的否命题为：“若
，则
”．

B．“
”是“
”的必要不充分条件．

C．命题“

使得
”的否定是：“对

均有
”．

D．命题“若
，则
”的逆否命题为真命题．

5. 已知函数
，将
的图象上各点的横坐标缩短为原来的
倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移
个单位，得到函数
的图象，则函数
的解析式为（ C ）

A．
B．

C．
D．

6.如右图所示，
是圆
上的三点，
的延长线与线段

交于圆内一点
，若
，则( C )

A．
B．

C．
D．

7.已知函数
，若
,且
，则
的最小值是（ A ）

（A）-16 (B)-12 (C) -10 (D) -8

8.设函数y=f(x)在(－
,
)内有定义，对于给定的正数k，定义函数：

,取函数f(x)=2-x-e-x，若对任意的x∈(－
,
)，恒有fk(x)＝f(x)，则( D )

A. k的最大值为2 B. k的最小值为2

C. k的最大值为1 D. k的最小值为1

二．填空题

（一）选做题（从9—11题中任选两道题作答。如果全做，则按前两题记分）

9.(几何证明选讲选做题)如图,
是⊙O上的四个点,过点B的切线与
的延长线交于点E.若
,则

10.(极坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,直线
与曲线
相交于
两点,
为极点,则
的大小为

11.（不等式选讲选做题）已知x、y、z∈R, 且2x＋3y＋3z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值为

（二）必做题

12．已知集合
____
______

13.正三角形
的边长为2，将它沿高
翻折，使点
与点
间的距离为1，此时二面角B-AD-C大小为__600___

14. 高三毕业时，甲，乙，丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲，乙相邻，则甲丙相邻的概率为

15.已知函数
，
，（1）
与
的图象关于直线
2对称；

（2）有下列4个命题：

①若
，则
的图象关于直线
对称；

②
则5是
的周期；

③若
为偶函数，且
，则
的图象关于直线
对称；

④若
为奇函数，且
，则
的图象关于直线
对称.

其中正确的命题为___ _①②③④___ .

16.如图，将圆分成n个区域，用3种不同颜色给每一个区域染色，

要求相邻区域颜色互异，把不同的染色方法种数记为an.

（1）
18

（2）an=

三．解答题

17.下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.

(Ⅰ)求此人到达当日空气重度污染的概率;

(Ⅱ)设X是此人停留期间空气质量优良的天数,求X的分布列与数学期望;

解：设
表示事件“此人于3月i日到达该市”(=1,2,,13).

根据题意,
,且
. 4分

(I)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”,则
,

所以
.

(II)由题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,且

P(X=1)=P(A3∪A6∪A7∪A11)= P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A11)=
,

P(X=2)=P(A1∪A2∪A12∪A13)= P(A1)+P(A2)+P(A12)+P(A13)=
,

P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)=
, 10分

所以X的分布列为:

11分

故X的期望
. 12分

18．如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，AD⊥CD，AB//CD，AB=AD=
，点M在线段EC上且不与E、C垂合。

（1）当点M是EC中点时，求证：BM//平面ADEF；

（2）当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为
时，求三棱锥M—BDE的体积.

（Ⅰ）以
分别为
轴建立空间直角坐标系

则

的一个法向量

，
。即
……………………4分

（Ⅱ）依题意设
，设面
的法向量

则
，

令
，则
，面
的法向量

，解得

为EC的中点，
，
到面
的距离

12分

19. 设集合W是满足下列两个条件的无穷数列
的集合：①对任意
，
恒成立；②对任意
，存在与n无关的常数M，使
恒成立．

（1）若
是等差数列，
是其前n项和，且
试探究数列
与集合W之间的关系；

（2）设数列
的通项公式为
，且
，求M的取值范围．

解：(1)设等差数列
的公差是
，则

解得
………1分

∴
(3分)

∴

∴
，适合条件①

又
，

∴当
或
时，
取得最大值20，即
，适合条件②．

综上，
………（6分）

（2）∵
，

∴当
时，
，此时，数列
单调递减；………9分

当
时，
，即
，………10分

因此，数列
中的最大项是
，………11分

∴
，即M的取值范围是
．………12分

20.如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线
排水管，在路南侧沿直线
排水管（假设水管与公路的南，北侧在一条直线上且水管的大小看作为一条直线），现要在矩形区域ABCD内沿直线EF将
与
接通．已知AB = 60m，BC = 60
m，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的EF部分的排管费用为每米2万元，设EF与AB所成角为
．矩形区域内的排管费用为W．

（1）求W关于
的函数关系式；

（2）求W的最小值及相应的角
．

解：（1）如图，过E作
，垂足为M，由题意得
，

故有
，
，
，

所以W=
。 6分

（2）设
，

则
．

令
得
，即
，得
．

列表











+

0

-





单调递增

极大值

单调递减



所以当
时有
，此时有．

答：排管的最小费用为
万元，相应的角
． 13分

21.（1）已知定点
、
，动点N满足
（O为坐标原点），
，
，
，求点P的轨迹方程。

（2）如图，已知椭圆
的上、下顶点分别为
，点
在椭圆上，且异于点
，直线
与直线
分别交于点
，

（ⅰ）设直线
的斜率分别为
、
，求证：
为定值；

（ⅱ）当点
运动时，以
为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论．

解（Ⅰ）连接ON∵
∴点N是MF1中点 ∴|MF2|=2|NO|=2

∵
∴F1M⊥PN ∴|PM|=|PF1|

∴|∣PF1|- |PF2∣|= ||PM|- |PF2| |= |MF2|=2＜|F1F2|

由双曲线的定义可知：点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线。

点P的轨迹方程是
4分

（ⅰ）
，
，令
，则由题设可知
，

直线
的斜率
，
的斜率
，又点
在椭圆上，所以

，（
），从而有
。8分

（ⅱ）

13分

22.已知
，
，且直线
与曲线
相切．（1）若对
内的一切实数
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；（2）（ⅰ）当
时，求最大的正整数
，使得任意
个实数


（
是自然对数的底数）都有
成立；

（ⅱ）求证：

．

解：（1）设点
为直线
与曲线
的切点，则有

． （*）

，
． （**）

由（*）、（**）两式，解得
，
． 1分

由
整理，得
，

，
要使不等式
恒成立，必须
恒成立． 2分

设
，
，

，
当
时，
，则
是增函数，

，
是增函数，
，
．

因此，实数
的取值范围是
． 4分

（2）当
时，
，

，
在
上是增函数，
在
上的最大值为
．

要对
内的任意
个实数
都有

成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，

当
时不等式左边取得最大值，
时不等式右边取得最小值．

，解得
．因此，
的最大值为
． 8分

（3）证明：当
时，根据（1）的推导有，
时，
，

即
． 令
，得
，

化简得
，

． 13分