湖北省 八校

2014届高三第一次联考

数学试题（理科）

考试时间：2013年12月13日下午 15︰00—17︰00 试卷满分150分 考试用时120分钟

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟．

★ 祝考试顺利 ★

注意事项：

1.考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效．

3.填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内. 答在试题卷上无效．

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 方程
的一个根是（ ）

A.
B.
C.
D.

2. 集合
，
，若
,则
（ ）

A.
B.
C.
D.

3. 下列命题，正确的是（ ）

A.命题:
，使得
的否定是：
，均有
.

B.命题：若
,则
的否命题是：若
，则
.

C.命题：存在四边相等的四边形不是正方形，该命题是假命题.

D.命题：
，则
的逆否命题是真命题.

4. 已知
满足
，则关于
的说法，正确的是（ ）

A.有最小值1 B.有最小值
C.有最大值
D.有最小值

5. 函数
有极值点，则（ ）

A.
B.

C.
D.

6. 一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）

A.
B.

C.
D.

7. △
中，角
成等差数列是

成立的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

8. 在弹性限度内，弹簧所受的压缩力
与缩短的距离
按 胡克定律
计算.今有一弹簧原长
，每压缩
需
的压缩力，若把这根弹簧从
压缩至
（在弹性限度内），外力克服弹簧的弹力做了（ ）功（单位：
）

A.
B.
C.0.686 D.0.98

9．在正方体
中，
是棱
的中点，
是侧面

内的动点，且
∥平面
，记
与平面
所成的角为
，

下列说法错误的是（ ）

A.点
的轨迹是一条线段 B.
与
不可能平行

C.
与
是异面直线 D.

10. 若直线
与曲线
有四个公共点，则
的取值

集合是（ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

（一）必考题（11—14题）

11. 平面向量
满足
，且
，则向量
的夹角为______.

12. 已知正三角形内切圆的半径
与它的高
的关系是：
,把这个结论推广到空间正四面体，则正四面体内切球的半径
与正四面体高
的关系是_________.

13. 将函数
的图象向左平移
个单位后得到的函数图象关于点
成中心对称，那么
的最小值为________.

14. 无穷数列
中，
是首项为10，公差为
的等差数列；
是首项为
，公比为
的等比数列（其中
），并且对于任意的
，都有
成立.若
，则m的取值集合为____________.记数列
的前
项和为
,则使得

的
的取值集合为____________.

（二）选考题（请考生在15、16两题中任选一题作答．如果全选，则按第15题作答结果计分）

15.（选修4—1：几何证明选讲）

已知⊙O1和⊙O2交于点C和D，⊙O1上的点P处

的切线交⊙O2于A、B点，交直线CD于点E，M

是⊙O2上的一点，若PE=2，EA=1，
，

那么⊙O2的半径为 .

16.（选修4—4：坐标系与参数方程）

在极坐标系中，曲线
上有3个不同的点到曲线
的距离等于2，则
.

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）已知向量
，

，函数
的图象与直线
的相邻两个交点之间的距离为
．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求函数
在
上的单调递增区间．

18．（本小题满分12分）设等差数列
的前
项和为
，满足：

．递增的等比数列
前
项和为
，满足：
．

（Ⅰ）求数列
，
的通项公式；

（Ⅱ）设数列
对
，均有
成立，求
．

19．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱
中，底面△
为等腰直角三角形，
，
为棱
上一点，且平面
⊥平面
.

(Ⅰ)求证：
为棱
的中点；（Ⅱ）
为何值时，二面角
的平面角为
.

20．（本小题满分12分）如图，山顶有一座石塔
，已知石塔的高度为
.

（Ⅰ）若以
为观测点，在塔顶
处测得地面上一点
的俯角为
，在塔底
处测得
处的俯角

为
，用
表示山的高度
；

（Ⅱ）若将观测点选在地面的直线
上，其中
是塔顶
在地面上的射影. 已知石塔高度
,

当观测点
在
上满足
时看
的视角(即
)最大，求山的高度
.

21.（本小题满分13分）已知
是关于
的方程

的根，

证明：（Ⅰ）
; （Ⅱ）
.

22.（本小题满分14分）已知函数
（
为自然对数的底数）.

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）当
时，若
对任意的
恒成立，求实数
的值；

（Ⅲ）求证：
.

湖北省八校2014届高三第一次联考

理科数学参考答案及评分细则

一、选择题（每小题5分，共10小题） 1—5 A C B B D 6—10 B A A B A

二．填空题（每小题5分，共5小题）

11.
12.
13.

14.
；
第一个空2分，第二个空3分

15.
16.

三、解答题（共5小题，共75分）

17. （Ⅰ）
1分

5分

由题意，
，
6分

（Ⅱ）
，

时，

故
或
时，
单调递增 9分

即
的单调增区间为
和
12分

18. （Ⅰ）由题意
得
，则
2分

，
方程
的两根，得
4分

，
代入求得
，

6分

（Ⅱ）由

相减有


， 9分

又
，得

12分

19．解：（Ⅰ）过点D作DE ⊥ A1 C 于E点，

取AC的中点F，连BF ﹑EF

∵面DA1 C⊥面AA1C1C且相交于A1 C，面DA1 C内的直线DE ⊥ A1 C

故直线
面
3分

又∵面BA C⊥面AA1C1C且相交于AC，易知BF⊥AC，∴BF⊥面AA1C1C

由此知：DE∥BF ，从而有D，E，F，B共面，

又易知BB1∥面AA1C1C，故有DB∥EF ，从而有EF∥AA1，

又点F是AC的中点，所以DB ＝ EF ＝
AA1 ＝
BB1，

即
为
的中点 6分

（Ⅱ）解法1：建立如图所示的直角坐标系，

设AA1 ＝ 2b ，AB＝BC ＝
，则D（0,0,b）,

A1 (a,0,2b), C (0,a,0)

所以，

设面DA1C的法向量为

则

可取
8分

又可取平面AA1DB的法向量

据题意有：
解得：
＝
12分

(Ⅱ)解法2：延长A1 D与直线AB相交于G，易知CB⊥面AA1B1B，

过B作BH⊥A1 G于点H，连CH，由三垂线定理知：A1 G⊥CH，

由此知∠CHB为二面角A －A1D － C的平面角； 9分

设AA1 ＝ 2b ，AB＝BC ＝
；

在直角三角形A1A G中，易知AB ＝ BG.

在
DBG中，BH ＝
＝
，

在
CHB中，tan∠CHB ＝
＝
，

据题意有：
＝ tan600 ＝
，

解得：
所以