台州中学2014届高三上学期第三次统练数学理试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合
，
，则

A．
B．
　　　 C．
　　 　D．

2．已知双曲线
与椭圆
共顶点，且焦距是6，此双曲线的渐近线是

A．
B．
　　　C．
　　　D．

3．已知
R，条件p：“
”，条件q：“
”，则p是q的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．设
为等比数列
的前
项和，若
，则

A．
B．
C．
D．

5．如图1所示，正△ABC中，CD是AB边上的高，

E、F分别是AC、BC的中点.现将△ACD沿CD

折起，使平面
平面BCD（如图2），则下

列结论中不正确的是

A．AB//平面DEF

B．CD⊥平面ABD

C．EF⊥平面ACD

D．V三棱锥C—ABD=4V三棱锥C—DEF

6．已知点P（3,3），Q（3,-3），O为坐标原点，动点M（x, y）满足
，则点

M所构成的平面区域的面积是

A．12 B．16

C．32 D．64

7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三

角形，则这个几何体的

A．外接球的半径为
B．体积为

C．表面积为
D．外接球的表面积为

8．直线
，当此直线在
轴的截距和最小时，实数
的值是

A． 1 B．
C． 2 D． 3

9．设
的内角
所对的边长分别为
，且
，
,

则
的最小值是

A． 2 B． 3 C． 4 D． 5

10．已知函数
在
，
点处取到极值，其中
是坐标原点，
在

曲线
上，则曲线
的切线的斜率的最大值的

最大值是

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共7小题, 每小题4分, 共28分。

11．已知i是虚数单位，复数
的虚部是 ．

12．执行如图所示的程序框图，则输出的k值是 ．

13．
的展开式的常数项是 ．

14．从6名候选人中选派出3人参加
、
、
三项活动，且每项活动有且仅有1人参加，甲不参加
活动，则不同的选派方法有 种．

15．已知抛物线
与椭圆
有相同的

焦点
，
是两曲线的公共点，若
，则此椭圆的

离心率为 ．



















16．随机变量
的分布列如右：其中

成等差数列，若
，

则
的值是 ．

17．如图，在菱形
中，
，
，
是

内部任意一点，
与
交于点
，则

的最小值是 ．

三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说

明、证明过程或演算步骤．

18．（本题满分14分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为
，已知函数

R）．

（Ⅰ）求函数
的最小正周期和最大值；

（Ⅱ）若函数
在
处取得最大值，且
，求
的面积
．

19．（本题满分14分）

设公比大于零的等比数列
的前
项和为
，且
，

，数列
的前
项和为
，满足
，
，
．

（Ⅰ）求数列
、
的通项公式；

（Ⅱ）满足
对所有的
均成立，

求实数
的取值范围．

20．（本题满分14分）

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为菱形，且

∠ABC =60(，AB=PC=2，AP=BP=
．

（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面ABCD ；

（Ⅱ）求二面角A-PC-D的平面角的余弦值．

21．（本题满分15分）

已知抛物线
的焦点为
，准线为
，点
为抛物线C上的一点，且
的外接圆圆心到准线的距离为
．

（I）求抛物线C的方程；

（II）若圆F的方程为
，过点

P作圆F的2条切线分别交
轴于点
，

求
面积的最小值时
的值．

22．（本题满分15分）

已知函数
．

（I） 当
，求
的最小值；

（II） 若函数
在区间
上为增函数，求实数
的取值范围；

（III）过点
恰好能作函数
图象的两条切线，并且两切线的倾斜角互补，

求实数
的取值范围．

台州中学2013学年第一学期第三次统练试题

高三 数学（理科）答案

1-10 ABABC CDDCA

11．
12． 3 13．
14． 100 15．
16．
17．

三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．（本题满分14分）

解：（Ⅰ）依题意，
…………2分

………5分

所以函数
的最小正周期是
,
有最大值
． ……………7分

（Ⅱ）由（I）知：由
，得
， 所以
．

又
，所以
．

……………14分

19．（本题满分14分）

解：（Ⅰ）由
，
得
……… …3分

又
（
，

则得

所以
，当
时也满足． ……………7分

（Ⅱ）设
，则
，

即

当
或
时，
的最小值是
所以
． ……………14分

20．（本题满分14分）

解：（Ⅰ）如图1所示，取AB中点E，连PE、CE．

则PE是等腰△PAB的底边上的中线，所以PE⊥AB．……………2分

PE=1，CE=
，PC=2，即
．

由勾股定理可得，PE⊥CE．……………4分

又因为AB(平面ABCD，CE(平面ABCD，

且AB∩CE=E，所以PE⊥平面ABCD．

……………5分

而PE(平面PAB，

所以平面PAB⊥平面ABCD．……………7分

（Ⅱ）（方法1）如图1，在Rt△PEC中，过点E作EF⊥PC于点F，连AF．

过A作平面PCD的垂线，垂足为H，连FH．

因为AE⊥EC，AE⊥PE，所以AE⊥平面PEC，于是AE⊥PC．

又EF⊥PC，所以PC⊥平面AEF，故PC⊥AF．

已有PC⊥AH，可得PC⊥平面AFH，所以PC⊥FH．

故∠AFH是二面角A-PC-D的平面角． ……10分

由AB⊥平面PEC知EF⊥AB，又AB∥CD，所以EF⊥CD．

而已有EF⊥PC，所以EF⊥平面PCD．又因为AH⊥平面PCD，所以AH∥EF．

由于AB∥平面PCD，所以A、E两点到平面PCD的距离相等，故AH=EF．

所以AEFH是矩形，∠AFH=∠EAF． ……………13分

在Rt△AEF中，AE=1，EF=
，AF=
，所以
．

即二面角A-PC-D的平面角的余弦值是
． ……………14分

（方法2）以AB中点E为坐标原点，EC所在直线为x轴，EB所在直线为y轴，EP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

则A（0,-1,0），C（
,0,0），D（
,-2,0），P（0,0,1），

=（
,1,0），
=（
,0,-1），

=（0,2,0）． ……………9分

设
是平面PAC的一个法向量，

则
，即
．

取
，可得
，

． …………11分

设
是平面PCD的一个法向量，则
，即
．

取
，可得
，
． ……13分

故
，即二面角A-PC-D的平面角的余弦值是
．

……………14分

21．（本小题满分15分）

解：（I）
的外接圆的圆心在直线OF，FP的中垂线交点上，且直线OF的中垂线为直线
，则圆心的纵坐标为
…………………………………………………1分

故到准线的距离为
………… ……………2分

从而p=2，即C的方程为

………………………………………………5分

（II）设过点P斜率存在的直线为
，则点F(0，1)到直线的距离

。…………………………………………7分

令d=1，则

，

所以
。

设两条切线PM，PN的斜率分别为
，则

，
，…………………………………9分

且直线PM：
，直线PN：
，故

，

因此

……11分

所以
……………… 12分

设
，则

令
，则
。

在
上单点递减，在
上单调递增，因此

从而
，

此时
．……………………………………………………………15分

22． （本题满分15分）．

解：（I）

………………1分

的变化的情况如下：











—

0

+







极小值





 ………………3分

所以，
………………4分

（II） 由题意得：
……………5分

函数
在区间
上为增函数，

当
时
，即
在
上恒成立，

， ………………7分

，

在
上递增

,

………10分

（III）设两切点
，
，

则函数
在
处的切线方程分别为

，

且

即
也即

即
是方程
的两个正根

………………15分