湖南省雅礼中学2014届高三上学期第三次月考试卷

数学文

(时量：120分钟 满分：150分)

一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填在答题卡对应位置.

1.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是

A．
B．
C．
D．

2.下列命题中，假命题为(　　)

A．?x∈R,

B．存在四边相等的四边形不是正方形

C．若x，y∈R，且x＋y>2，则x，y至少有一个大于1

D．a＋b＝0的充要条件是＝－1

3.执行下面的框图,若输出结果为
，则可输入的实数
值的个数为

A．1 B．2 C．3 D．4

4.如图,某三棱锥的三视图都是直角边为
的等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面的面

积中最大的是

A．1 B．
C．2 D．

5.已知某生产厂家的年利润
（单位：万元）与年产量
（单位：万件）的函数关系式为
，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为

A.9万件 B.11万件 C.12万件 D.13万件

6.下面关于复数
的四个结论，正确的是

①
②
③
④

A．①② B．②③ C．②④ D．③④

7.若直线
被圆
截得的弦最短，则直线
的方程是

A.
B.
C.
D.

8.已知非负实数
满足
,则关于
的一元二次方程
有实根的概

率是

A.
B.
C.
D.

9.已知
是边长为
的正三角形,
为线段
的中点,且
,则

的取值范围是

A.
B.
C.
D.

答案：BDCBA　CDAD

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.

10.为了研究性别不同的高中学生是否爱好某项运动,运用
列联表进行独立性检验,经

计算
,则所得到的统计学结论是:有______的把握认为“爱好该项运动与性别

有关”. 附:

0.050

0.010

0.001





3.841

6.635

10.828



11.在直角坐标系
中,以原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线
的参数方程为
（
为参数），曲线
的极坐标方程为
，则
与
交点在直角坐标系中的坐标为___________.

12.在
中，若
，则
边上的高等于 .

13.已知双曲线
的右焦点到其渐进线的距离为
,则此双曲线的离心率为

__________.

14.设集合
￠.

（Ⅰ）实数
的取值范围是 ；

（Ⅱ）当
时，若
，则
的最大值是 ．

15已知集合
,其中
表示和

中所有不同值的个数.

（Ⅰ）若集合
,则
；

（Ⅱ）当
时，
的最小值为____________.

答案：10.
﹪11.
12.
13.
14.（Ⅰ）
（Ⅱ）5

15.（Ⅰ）6（Ⅱ）213.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16. (本小题满分12分)

已知函数
的最大值为
，其图像相邻两条对称轴之间的距离为
.

（Ⅰ）求函数
的解析式；

（Ⅱ）设
，求
的值．

解：(1)∵函数f(x)的最大值为3，∴A＋1＝3，即A＝2，

∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，∴最小正周期T＝π，∴ω＝2，

故函数f(x)的解析式为y＝2sin(2x－)＋1. 6分

(2)∵f＝2sin＋1＝
，即sin＝
，

∵0<α<，∴－<α－<,

∴
.

12分

17. (本小题满分12分)

中华人民共和国《道路交通安全法》中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次:“酒

后驾车”和“醉酒驾车”,其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量
(简称血酒含量,单

位是毫克/
毫升),当
时,为“酒后驾车”；当
时,为“醉酒驾车”.

某市公安局交通管理部门于
年
月的某天晚上
点至
点在该市区解放路某处设点

进行一次拦查行动,共依法查出了
名饮酒后违法驾驶机动车者,如图为这
名驾驶员抽

血检测后所得结果画出的频率分布直方图(其中
的人数计入
人数之

内).

(Ⅰ)求此次拦查中“醉酒驾车”的人数；

（Ⅱ）从违法驾车的
人中按“酒后驾车”和“醉酒驾车”利用分层抽样抽取
人做样本进行研究,再从抽取的
人中任取
人,求
人中其中
人为“酒后驾车”另
人为“醉酒驾车”的概率.

解:(Ⅰ) (0.0032+0.0043+0.0050)×20=0.25,0.25×60=15,

所以此次拦查中“醉酒驾车”的人数为15人. 6分

（Ⅱ）由分层抽样方法可知抽取的
人中“酒后驾车”的有6人，记为
,

“醉酒驾车”的有2人，记为
. 9分

所以从
人中任取
人共有
等
种，
人中其

中
人为“酒后驾车”另
人为“醉酒驾车”共有
等
种，

因此所求的概率为
12分

18.(本小题满分12分)

已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的中点．

(Ⅰ)求异面直线CC1和AB的距离；

(Ⅱ)若AB1⊥A1C，求二面角A1－CD－B1的平面角的余弦值．

解：(1)因AC＝BC，D为AB的中点，故CD⊥AB.

又直三棱柱中，CC1⊥面ABC，故CC1⊥CD，所以异面直线CC1和AB的距离为CD＝＝. 5分

(2)由CD⊥AB，CD⊥BB1，故CD⊥面A1ABB1，从而CD⊥DA1，CD⊥DB1，故∠A1DB1为所求的二面角A1－CD－B1的平面角． 8分

又CD⊥
，AB1⊥A1C，所以AB1⊥平面
,从而∠A1AB1，∠A1DA都与∠B1AB互余，因此∠A1AB1＝∠A1DA，所以Rt△A1AD∽Rt△B1A1A，因此＝，得AA＝AD·A1B1＝8.从而A1D＝＝2，B1D＝A1D＝2，

所以在△A1DB1中，由余弦定理得cos∠A1DB1＝＝. 12分

19.(本小题满分13分)

设
为数列
的前
项和，且有

(Ⅰ)求数列
的通项公式；

(Ⅱ)若数列
是单调递增数列，求
的取值范围.

解(Ⅰ)当
时，由已知
… ①

于是
…②

由②－①得
…… ③

于是
…… ④

由④－③得
…… ⑤

上式表明：数列
和
分别是以
，
为首项，6为公差的等差数列. 4分

又由①有
，所以
,

由③有
，
，所以
，
．

所以

，

. 8分

(Ⅱ)数列
是单调递增数列
且
对任意的
成立．

且

．

所以
的取值范围是
13分

20.(本小题满分13分)

已知
，函数
.

(Ⅰ)求函数
的单调区间；

(Ⅱ)求函数
在区间
上的最小值.

解(Ⅰ)函数的定义域为
.

①当
时,
，所以

②当
时，当
.

故
. 6分

(Ⅱ)(1)当
时，由(Ⅰ)知
；

(2) 当
时，

①当
时，
， 由(Ⅰ)知

；

②当
时，
， 由(Ⅰ)知

③当
时，
，

由(Ⅰ)知
；

综上所述，

13分

21.(本小题满分13分)

已知曲线
上任意一点
到直线
的距离是它到点
距离的
倍；曲线
是以原点为顶点，
为焦点的抛物线.

(Ⅰ)求
,
的方程；

(Ⅱ)过
作两条互相垂直的直线
,其中
与
相交于点
,
与
相交于点
,求四边形
面积的取值范围.

解(Ⅰ)设
，则由题意有
,化简得:
.

故
的方程为
，易知
的方程为
. 4分

(Ⅱ)由题意可设
的方程为
,代入
得
,

设
,则
,

所以
. 7分

因为
,故可设
的方程为
,代入
得

,设
,则
,

所以
. 10分

故四边形
的面积为

(
)

设
，因此

,当且仅当
即
等号成立.

故四边形
面积的取值范围为
. 13分