江苏省灌云高级中学2014届高三数学第三次学情调研考试

（理科）数学试卷

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题纸上）

1．设集合
，
,则
= .

2．已知
为实数，则“
”是“
”的 条件

3．已知
都是锐角，
则
______.

4．已知复数
满足
（
为虚数单位），则
=______.

5. 若平面向量
与向量
共线反向，且
，则
．

6. 函数
的单调减区间为__________.

7．已知
是正三角形，若
与向量
的夹角大于
，则实数
的取值范围是_____.

8.△
中，角
的对边分别为
、
、
，且
，则
= ．

9．已知
满足
，则
的取值范围是 ．

10.已知
，函数
若
，则实数
的取值范围为 .

11.如图，点F为椭圆

的一个焦点，若椭圆上存在一点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点，则该椭圆的离心率的值为 .

12.不等式
的解集中恰有一个元素，则
的最小值为 ．

13．在数列
中，
，
，记
是数列
的前
项和，则
= .

14. 定义在
上的函数
满足：①当
时，
；②
.设关于
的函数
的零点从小到大依次为
.，若
，则
_________.

二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将答案填写在答题纸上）

15．（本小题满分14分）

已知△
的三个内角
所对的边分别是
，
，

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求△
的面积．

16．（本小题满分14分）

???已知
?，函数
?

（Ⅰ）当
时，写出函数f(x)的单调递增区间；?

（Ⅱ）当
时，求
在区间
上的最值；

(Ⅲ)?设
函数f(x)在
上既有最大值又有最小值，请分别求出
的取值范围（用
表示）．

17．（本小题满分14分）

如图，
为相距
的两个工厂，以
的中点
为圆心，半径为
画圆弧。
为圆弧上两点，且
，在圆弧
上一点
处建一座学校。学校
受工厂
的噪音影响度与
的平方成反比，比例系数为1，学校
受工厂
的噪音影响度与
的平方成反比，比例系数为
。学校
受两工厂的噪音影响度之和为
，且设
。

（1）求
，并求其定义域；

（2）当
为多少时，总噪音影响度最小？

18．（本小题满分16分）

已知椭圆
的中心在原点，长轴在x轴上，右顶点
到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为
. 不过A点的动直线
交椭圆
于P,Q两点．

求椭圆的标准方程；

（2）证明
两点的横坐标的平方和为定值；

（3）过点
的动圆记为圆
，已知动圆
过定点
和
(异于点
)，请求出定点
的坐标.

19.（本小题满分16分）

已知数列{
}中,
,前
项和为
,且
.

(1)求
；

(2)求证:数列
为等差数列,并写出其通项公式;

(3)设
,试问是否存在正整数
其中（
),使
成等比数列?若存在,求出所有满足条件的数组
;若不存在,说明理由.

20. （本小题满分16分）

已知函数
,

（Ⅰ）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）当
时，若
在区间
上的最小值为
，求实数
的取值范围；

（Ⅲ）若对任意
，求实数
的取值范围.

灌云高级中学2014届高三数学12月学情检测理科试卷参考答案

一、填空题

1.
2. 充分不必要 3.
4.
5. (4,-2)

6.
7.
8.
9.
10.

11.
12.2 13. 2550 14.

二、解答题

15.

解：（I）∵tanA+tanB=
﹣
tanAtanB=
（1﹣tanAtanB），

∴tan（A+B）=
=
=
；

（II）由（I）及A和B都为三角形的内角，得到A+B=
，

∴C=
，

∵c2=a2+b2﹣2abcosC，a=2，c=
，cosC=﹣
，

∴19=4+b2﹣2×2×b×（﹣
），即（b﹣3）（b+5）=0，

解得：b=3或b=﹣5（舍去），

∴b=3，又sinC=
，

∴S△ABC=
absinC=
×2×3×
=
．



16. 解（Ⅰ） 当a=4时，f(x)=x|x-4|=
,由图像可知，单调增区间为
（开区间不扣分）…………………4分

（Ⅱ）
…………………8分

（3）
， ……10分

①当
时，图象如图1所示．

由
得
． ……12分

图1 图2

②当
时，图象如图2所示．

由
得
． ……14分

17. 解：（Ⅰ）连接OP，设
则
，……….1分在△AOP中，由余弦定理得
，在△BOP中，由余弦定理得
，…………4分∴
，则
，…………….6分∵
，则
，∴
，∴
，∴
。………………………………8分（Ⅱ）令
，∴
，…………………………..10分由
，得
或t=-10（舍去），………………..12分当
，函数在
上单调递减；当
，函数在
上单调递增；……………………∴当
时，即
时，函数有最小值，也即当AP为
（km）时，“总噪音影响度”最小．……………………………………………………………14分

18. 解：（1）设椭圆的标准方程为
.由题意得
.……2分

,
, ……2分
椭圆的标准方程为
.……4分

（2）证明：设点

将
带入椭圆，化简得：


,……6分

,

P,Q两点的横坐标的平方和为定值4.……7分

（3）(法一)设圆的一般方程为:
,则圆心为（
）,

PQ中点M(
), PQ的垂直平分线的方程为:
, ……8分

圆心（
）满足
，所以