江苏省灌云高级中学2014届高三数学第三次学情调研考试

（文科）数学试卷

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

集合
的所有子集个数为_________．

复数
满足
，则
＝ 。

函数
的最小值是 。

函数
的值域是_________．

如图，程序执行后输出的结果为_________．

某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆.为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取______________辆

已知
是两条不同的直线，
为两个不同的平面，

有下列四个命题：

①若
，m⊥n，则
；

②若
，则
；

③若
，则
；

④若
，则
．

其中正确的命题是（填上所有正确命题的序号）_______________．

在△ABC中，AB＝2，AC＝1，D为BC的中点，则
＝_________．

直线x＋ay＋3＝0与直线ax＋4y＋6＝0平行的充要条件是_________．

椭圆
的一条准线方程为
，则
________．

已知函数
在定义域内是增函数，则实数
的取值范围为_________．

12、已知函数
的一部分图象如右图所示，则函数
可以是________

13．已知函数
，若对任意
，都有
，则实数
的取值范围是

14、已知点
（1，0）在直线
的两侧，则下列说法

（1）

（2）
时，
有最小值，无最大值

（3）
恒成立

（4）

,
, 则
的取值范围为（-

其中正确的是 （把你认为所有正确的命题的序号都填上）

二、解答题:本大题共6小题,共计90分.

15．已
知函数
.

（1）若点

(
)为函数
与
的图象的公共点，试求实数
的值；

（2）求函数
的值域.

16、如图，在四棱锥
中，底面为直角梯形，
，
垂直于底面
，
分别为
的中点。

(1)求证：
；（2）求截面
的面积。

17.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为
（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为
平方米，且高度不低于
米．记防洪堤横断面的腰长为
（米），外周长（梯形的上底线段
与两腰长的和）为
（米）.

⑴求
关于
的函数关系式，并指出其定义域；

⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过
米，则其腰长
应在什么范围内？

⑶当防洪堤的腰长
为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最小）？求此时外周长的值.

18. 已知点P （4，4），圆C：
与椭圆E：
的一个公共点为A（3，1），F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，直线
与圆C相切。

（1）求m的值与椭圆E的方程；

（2）设D为直线PF1与圆C 的切点，在椭圆E上是否存在点Q ，使△PDQ是以PD为底的等腰三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由。

19．已知函数
，

(1)试讨论
的单调性；(2)若
存在极值，求
的零点个数。

20．已知
，数列
满足：

（1）求数列
的通项公式；

（2）
，当
时，
都在区间（0，1）内变化，且满足
时，求所有点
所构成图形的面积；

（3）当
时，证明：

江苏省灌云高级中学高三年级12月学情检测文科数学试卷参考答案

1、8；2、1-2i；3、
；4、（0，＋∞）；5、64；

6、6,30,10；7、①④；8、
；9、a＝－2；10、5；

11、
；12、
；13、[6,12]；14、（3）（4）

15．（本小题满分14分）

解: (1)∵点

(
)为函数
与
的图象的公共点

∴

-----------------------------------------------------------------4分

∴

∵

∴
,
--------------------------------------------------------7分

(2) ∵

∴

------------------------------------------10分

∵
∴

∴
∴
.

即函数
的值域为
.----------------------------------------14分

16、（本题满分14分）

（1）证明：因为
是
的中点，
， 所以
。

由
底面
，得
，

又
，即
，

平面
，所以
，

平面
，

。 ………… 7分

（2）由
分别为
的中点，得
，且
，

又
，故
，

由（1）得
平面
，又
平面
，故
，

四边形
是直角梯形，

在
中，
，
，

截面
的面积
。 …… 14分

17.（本题满分14分）

解：⑴
，其中
，
，

∴
，得
， 由
，得

∴
； --------------------6分

⑵
得
∵
∴腰长
的范围是
------10分

⑶
，当并且仅当
，即
时等号成立．∴外周长的最小值为
米，此时腰长为
米。 ------14分

18. （本小题满分16分）

．

解(1)∵点A(3,1)在圆C上,∴

又
,∴
…………………………2分

设
,∵

∴直线
的方程为
…………………………4分

∵直线
与圆C相切

∴
…………………………6分

即

由
解得

∴椭圆E的方程是
…………………………8分

(2) 直线
的方程为

由
得切点
…………………………10分

又∵P(4,4), ∴线段PD的中点为M(2,3)

又∵椭圆右焦点

又
,∴线段PD的垂直平分线的斜率为 -2 …………………………14分

∵
,∴线段PD的垂直平分线与椭圆有两个交点

即在椭圆上存在两个点Q,使△PDQ是以PD为底的等腰三角形. ………………………16分

(或与过点M的椭圆右侧切线斜率比较说明)

19．（本小题满分16分）

解:（1）函数的定义域为

………………………2分

方程
的判别式

（i）当
时，
，在
的定义域内
，
是增函数………3分

（ii）当
时，

若
，
，
是增函数

若
，
，那么
时，
，且
在
处连续，所以
是增函数 ………………………4分

（iii）当
或
时，
，方程
有两不等实根

当
时，
，当
时，
恒成立，

即
，
是增函数

当
时，
，此时
的单调性如下表：

















0



0







增



减



增



………………………6分

综上：当
时，
在
是增函数

当
时，
在
，
是增函数，

在
是减函数…………………7分

（2）由（1）知当
时，
有极值

∵
，∴

且
…………9分

∵
在
是增函数，在
是减函数，

∴当
时，
，即
在
无零点 …………11分

当
时，
是增函数，故
在
至多有一个零点…………13分

另一方面，∵
，
，则

由零点定理：
在
至少有一个零点 ……………………15分

∴
在
有且只有一个零点

综上所述，当
存在极值时，
有且只有一个零点。 ………………16分

20．（本小题满分16分）

解：（1）∵

∴
……………………2分

∴
是以
为首项，p为公比的等比数列

因此
，即
……………………4分

（2）∵当
时，
，

由
，得
……………………6分

∵

又∵

而

∴

即对满足题设的所有点
在区域
：
内……………………8分

而对区域
内的任一点
，

取
，

则
，

即
，使得
，
都是
（
）中的点

综上可知，点
构成的图形是如图所示的
圆，其面积为
…………………10分

（3）∵

∴
…………………12分

…………………14分

∴
…………………16分