广东省五校协作体2014届高三第二次联考

理科数学试卷

命题学校：广州市真光中学　　　 2013.12

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：1．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．

2．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

参考公式：锥体的体积公式
，其中
是锥体的底面积，
是锥体的高。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.

1．已知
是虚数单位，复数Z与复平面内的点(2，-1)对应，则复数
对应的点在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．已知
是三角形的一个内角，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

3．公比为2的等比数列{
} 的各项都是正数，且
，则
=（ ）

A．1 B．2 C．4 D．8

4．如图，圆
：
内的正弦曲线
与
轴围成的区域记为
（图中阴影部分），随机往圆
内投一个点
，则点
落在区域
内的概率是（ ）

A、
B、
C、
D、

5．
为三角形的内角，
，
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．
45

6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A、2 B、1

C、
D、

7．已知
、
是实数，则“
，
”是“
且
”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

8．定义在R上的函数
，如果存在函数
，使得
≥
对一切实数
都成立，则称
为函数
的一个承托函数．现有如下命题：

① 对给定的函数
，其承托函数可能不存在，也可能有无数个；

②
为函数
的一个承托函数；

③定义域和值域都是R的函数
不存在承托函数．

其中正确命题的序号是（ ）

（A） ① （B） ② （C） ①③ （D） ②③

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分。本大题分为必做题和选做题两部分．

（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答。

9．若
；

则
= ．

10．阅读右图程序框图，若输入
，则输出
的值为______．

11．若双曲线
的右焦点与抛物线
的焦点重合，则
．

12. 已知点
满足条件
（
为常数），若

的最大值为8，则
=__ _．

13. 已知命题“
”是假命题，则实数
的取值范围是____ ____．

（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计前一题的得分。

14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线
的极坐标方程是
，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为
轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线
的参数方程是
(
为参数)，则直线
与曲线
相交所成的弦的弦长为　　　　　　．

15．（几何证明选讲选做题）如图，PA是圆的切线，A为切点，

PBC是圆的割线，且
，则
．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16．（本小题满分12分）

已知函数
。

（1）求
的最小正周期；

（2）若将
的图象向右平移
个单位，得到函数
的图象，求函数
在区间
上的最大值和最小值。

17．（本小题满分12分）

为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重（单位：千克）情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图4），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，其中第2小组的频数为12。

(1)求该校报考飞行员的总人数；

(2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体

数据，若从全省报考飞行员的同学中任选三人，

设
表示体重超过60千克的学生人数，求
的

分布列和数学期望。

18. （本小题满分14分）

如图，
与
都是边长为2的正三角形，
是
的中点，平面
平面
，
平面
，
.

（1），求证：
∥面
；

（2）求平面
与平面
所成二面角的正弦值.

19. （本小题满分14分）

已知数列
的前n项和
（n为正整数）。（Ⅰ）令
，求证数列
是等差数列，并求数列
的通项公式；（Ⅱ）令
，
试比较
与
的大小，并予以证明。

20．（本小题满分14分）

如图，已知椭圆
：
的离心率为
，以椭圆
的左顶点
为圆心作圆
：
，设圆
与椭圆
交于点
与点
．

（1）求椭圆
的方程；

（2）求
的最小值，并求此时圆
的方程；

（3）设点
是椭圆
上异于
的任意一点，

且直线
分别与
轴交于点
，
为

坐标原点，求证：
为定值．

21．（本小题满分14分）

设函数
．

（1）若
，求函数
的极值；

（2）若
，试确定
的单调性；

（3）记
，且
在
上的最大值为M，证明：

广东省五校协作体2014届高三第二次联考

数学（理）参考答案及评分细则

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

D

D

B

B

C

C

A

A



二、填空题：

（一）必做题（9～13题）

9．80； 10．3； 11．6； 12. -6 13、

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14．
； 15．
．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16．【解析】（1）

…………………………………………………2分

． …………………………………………………4分

所以
的最小正周期为
． ……………………………………6分

（2）
将
的图象向右平移
个单位，得到函数
的图象，

． …………………………………………………8分

时，
， ………………………………………………9分

当
，即
时，
，
取得最大值2． ………10分

当
，即
时，
，
取得最小值
．………12分

17．【解析】(1)设报考飞行员的人数为n，前三小组的频率分别为pl、p2、p3，则

……1分，解得
……2分

因为
……3分，所以n=48……4分

由(1)可得，一个报考学生体重超过60公斤的概率为

……6分，所以
……7分

所以
……9分

随机变量X的分布列为：

……11分

则
…12分

18．【解析】（1）
……1分

面
面
；面
面
=
，
面
……2分

面
；……3分

又
面
；
……4分

面
,
面
； ……5分

面
……6分

（2）以O为原点，直线OC、BO、OM为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图. ……7分

OB=OM=
，则各点坐标分别为O（0，0，0），

C（1，0，0），M（0，0，
），B（0，-
，0），

A（0，-
，2
），……8分

，
.设平面ACM的法向量为
，

由
得
.……9分

解得
，
，取
.……10分

又平面BCD的法向量为
，……11分

则
……13分

设所求二面角为
，则
.……14分

19．【解析】（I）在
中，令n=1，可得
，即
…1分

当
时，
，…2分

.…3分

.

又
数列
是首项和公差均为1的等差数列. …4分

于是
.…5分

(II)由（I）得
… …6分 ，所以

… …7分

由①-②得
… …8分

……9分

……10分

……11分

于是确定
的大小关系等价于比较
的大小

由

可猜想当
证明如下：

证法1：（1）当n=3时，由上验算显示成立。……12分

（2）假设
时

所以当
时猜想也成立……13分

综合（1）（2）可知 ，对一切
的正整数，都有
……14分

证法2：当
时

……13分

综上所述，当

，当
时
。……14分

20．【解析】（1）依题意，得
，
，…………………………………1分

；………………………………………………………………2分

故椭圆
的方程为
． ………………………………………3分

（2）方法一：点
与点
关于
轴对称，设
，
， 不妨设
．

由于点
在椭圆
上，所以
． （*） ……………………4分

由已知
，则
，
，

………………………………5分

． ……………………………………6分

由于
，故当
时，
取得最小值为
．…………………………7分

由（*）式，
，故
，又点
在圆
上，代入圆的方程得到
．

故圆
的方程为：
． ……………………8分

方法二：点
与点
关于
轴对称，故设
，……………………………4分

不妨设
，由已知
，则

…
………………5分

． ……………………………………………………6分

故当
时，
取得最小值为
，此时
，…………………7分

又点
在圆
上，代入圆的方程得到
．

故圆
的方程为：
． ……………………8分

(3) 方法一：设
，则直线
的方程为：
，………9分

令
，得
， 同理：
， ……………………10分

故
（**） ……………………11分

又点
与点
在椭圆上，故
，
，……………………12分

代入（**）式，得：

．

所以
为定值． ……………………14分

方法二：设
，不妨设
，
，其中
．则直线
的方程为：
，…9分

令
，得
，…………10分

同理：
， …………………………12分

故
．

所以
为定值． ……………………14分

21．【解析】（1）若
，则

有

令
得
,
-------------------------------------------1分

∵当
时
，当
时
，当
时，

∴当
时,函数
有极大值，
，--------------------2分

当
时，函数
有极小值，
-------------------------3分

（2）∵
即

又

∴
＝
---------------------------5分

当
即
时，
∴函数
在
上单调递增； --6分

当
，即
时，由
得
或
，

由
得
；-----------------------------------------------------------7分

当
，即
时，由
得
或
，

由
得
；-------------------------------------------------8分

综上得：当
时，函数
在
上单调递增；

当
时