广东省五校协作体2014届高三第二次联考

文科数学试卷

命题学校：深圳市第二高级中学　　 2013.12

一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集
，集合
，
，则
（ ）。

A．
B．
C．
D．

2．复数
，
，则复数
在复平面内对应的点位于（ ）。

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．设等比数列

，则
= 。

A． 2013 B．2014 C．0 D．1

4．已知向量
，若
为实数，
，则
＝（ ）。

A．
B．－
C．－
D．

5．如图放置的三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱
平面
,正视图如图所示，俯视图为一个等边三角形， 则该三棱柱的侧视图面积为（ ）。

A．
B．
C．
D．

6．“
”是“
”的（ ）。

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7．偶函数
在区间[0,
]（
>0）上是单调函数，且
，则方程
在区间[－
,
]内零点的个数是 （ ）。

A. 0 B. 3 C. 1 D. 2

8．曲线
在点
处的切线的斜率为（ ）。

A．2 B．
C．
D．

9．函数
（其中
）的图象如图所示，为了得到
的图像，则只要将
的图像（ ）。

A．向右平移
个单位长度

B．向右平移
个单位长度

C．向左平移
个单位长度

D．向左平移
个单位长度

10．若对任意
，都有
，则称集合A为“完美集合”．在集合
的所有非空子集中 任取—个集合，这个集合是“完美集合”的概率为（ ）。

A．
　 　B．
C．
　　 D．

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。

(一)必做题(11~13题)

11．如右图所示的程序框图输出的结果为 。

12．已知
，且
，则
的最小值是 　　 　 ；

13. 下面三个命题：

①命题“
的否定是“
”；

②不等式
的解集是
;

③正方体的内切球与其外接球的表面积之比为1∶3 ;

其中所有正确命题的序号为 。

(二)选做题（第14、15题，考生只能从中选做—题。）

14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系
中，圆以C的参数方程是
(
为参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则圆心C的极坐标是 。

15.（几何证明选讲选做题）如图所示，过圆O外一点
作一条直线与圆O交于
两点，己知弦
，点
到圆O的切线长
则
。

?三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．（本题满分12分）

在
中，角
的对边分别为
，
，若
，
，且
。

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）若
，
，求
的值。

17. （本题满分12分）

已知函数

（Ⅰ）求
和
的最大值；

（Ⅱ）若
,
是第二象限的角,求
的值。

18．（本小题满分14分）

某高校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下左图所示。

（Ⅰ）请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；

（Ⅱ）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？

（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率？

组 号

分组

频数

频率



第1组



5

0.050



第2组



①

0.350



第3组



30

②



第4组



20

0.200



第5组



10

0.100



合计

100

1.00





19．(本小题满分14分）

如图，已知
⊥平面
，
∥
,
=2，且
是
的中点，
。

（Ⅰ）求证：
∥平面
；

（Ⅱ）求证：平面
⊥平面
；

(III) 求多面体ABCDE的体积。

20．（本题满分14分）

在数列
中，已知
，
（
。

（Ⅰ）计算
；

（Ⅱ）求证：
是等差数列；

(Ⅲ）求数列
的通项公式
及其前
项和
。

21、（本小题满分14分）

已知函数
，
。

(Ⅰ）当
时，求函数
的最小值；

(Ⅱ）当
时，讨论函数
的单调性；

(Ⅲ）是否存在实数
，对任意的
，且
，有
,恒成立，若存在求出
的取值范围，若不存在，说明理由。

广东省五校协作体2014届高三第二次联考

数学(文科)参考答案及评分细则

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

1.C; 2. A; 3.A; 4.C; 5.B; 6.B; 7.D; 8.D; 9.A; 10.C.

二、填空题： 14、15题是选做题， 两题全答的，只计算前一题得分。

11．
; 12．8; 13.①②③; 14.
; 15. 2.

?三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本题满分12分）

解：（Ⅰ）

………2分

，
………6分

（Ⅱ）
………8分

法一：
………10分

………12分

法二：
………8分

………10分

………12分 其他方法酌情给分。

17. （本题满分12分）

解: （Ⅰ）
,………2分

………4分

………6分

当
时最大值为
. ………7分

（Ⅱ）
………8分

………9分

是第二象限的角

………10分

………11分

. ………12分

18．（本题满分14分）

解：（Ⅰ）由题可知，第2组的频数为
人, ……………………… 2分

第3组的频率为
, ……………………… 4分

频率分布直方图如下:

……………… 6分

（Ⅱ）因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为:第3组:
人, ……………………… 7分

第4组:
人, ………………………8分

第5组:
人, ……………………… 9分

所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人。

（Ⅲ）设第3组的3位同学为
,第4组的2位同学为
,第5组的1位同学为
,

则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下:

其中第4组的2位同学为
至少有一位同学入选的有:

9中可能, ……………………… 12分

所以其中第4组的2位同学为
至少有一位同学入选的概率为
………… 14分

19．（本题满分14分）

解：(Ⅰ）取CE中点P，连结FP、BP，

∵F为CD的中点，

∴FP∥DE，且FP=
……………1分

又AB∥DE，且AB=

∴AB∥FP，且AB=FP，……………2分

∴ABPF为平行四边形，

∴AF∥BP． …………3分

又∵AF
平面BCE，BP
平面BCE，……………………4分

∴AF∥平面BCE …………5分

（Ⅱ）∵
，所以△ACD为正三角形，∴AF⊥CD………………6分

∵AB⊥平面ACD，DE//AB ∴DE⊥平面ACD

又AF
平面ACD ∴DE⊥AF ……………………7分

又AF⊥CD，CD∩DE=D

∴AF⊥平面CDE ……………………9分 又BP∥AF ∴BP⊥平面CDE……………9分

又∵BP
平面BCE ∴平面BCE⊥平面CDE ……………………10分

(III)此多面体是一个以C为定点，以四边形ABED为底边的四棱锥，………………11分

，……………………12分，

等边三角形AD边上的高就是四棱锥的高………………13分

…………14分

20．（本题满分14分）

（Ⅰ）
；…………………… 2分

（Ⅱ）证明：∵
（
）

∴

为常数

∴
是等差数列，且公差为1. …………………… 6分

(III)解：由（1）知
是等差数列，且公差为1，且

∴
∴
……… 8分

∴
…………… 9分

令
…………①

则
……②

…………………… 10分

两式相减得：

……………… 11分

…………… 12分

………………… 13分

………………… 14分

21、（本小题满分14分）

解；（Ⅰ）显然函数
的定义域为
， ....................1分

当
． ....................2分

∴ 当
，
．

∴
在
时取得最小值，其最小值为
． ............ 4分

（Ⅱ）∵
， ....5分

∴（1）当
时，若
为增函数；

为减函数；
为增函数．

(2)当
时,
时,
为增函数;

（3）当
时，
为增函数；

为减函数；

为增函数． ............ 9分

（Ⅲ）假设存在实数
使得对任意的