无锡市洛社高级中学等三校2014届高三12月联考数学试题

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.

1. 已知集合U={1， 2， 3， 4}，M={1， 2}，N={2， 3}，则
＝________.

2. 若点M在直线a上，a在平面α内，则M和a，以及a与α间的关系可用集合语言表示为 ．

3. 复数
(
为虚数单位)的虚部是　 .

4.命
题:
的否定是 命题（填“真”、“假”）.

5. 右图是某高中十佳歌手比赛上某一位选手得分的茎叶统计图，去掉一个

最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为 .

6．设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线
与
的位置关系是 ．

7. 直线
截得的弦AB的长为 .

8. 图中是一个算法流程图，则输出的n=________.

9. 若向量
与
满足
，则

向量
与
的夹角等于 ．

10. 已知函数
，其中
．

若
的值域是
，则
的取值范围是______．

11. 德国数学家洛萨·科拉茨1937年提出了一个猜想：任给一个正整数n，如果它是偶数，就将它减半；如果它是奇数，则将它乘3再加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.如初始正整数为6，按照上述变换规则
，得到一个数列：6，3，10，5，16，8，4，2，1。现在请你研究：如果对正整数n（首项），按照上述规则实施变换后的第八项为1（第一次出现），则n的所有可能的值为 .

12. 设t
R
，若x＞0时均有
，则t ＝______________．

13. 在直角坐标系中， 如果两点
在函数
的图象上，那么称
为函数
的一组
关于原点的中心对称点（
与
看作一组）.函数
关于原点的中心对称点的组数为 ．

14. 设函数
的定义域为
，若存在非零实数t使得对于任意
，有
，且
，则称
为
上的t高调函数，如果定义域为
的函数
是奇函数，当
时，
，且
为
上的
8高调函数，那么实数
的取值范围是____________.

二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

15. （本
小题满分14分）设△ABC三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量
，
，且
．

（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若△ABC是锐角三角形，
，求
的取值范围．

16. （本小题满分14分）

三棱柱
中，侧棱与底面垂直，
，
，
分别是
，
的中点．

（Ⅰ）求证： MN∥平面
；

（Ⅱ）求证：错误！未找到引用源。平面
；

（Ⅲ）求三棱锥

的体积．

17. （本小题满分14分）

已知二次函数
满足
，且
.

（1）求函数
的表达式；

（2）等腰梯形ABCD与函数
的图像相切，底边CD在x轴上（如图），试求等腰梯形ABCD面积的最小值.

18. （本小题满分16分）

在平面直角坐标系
中，点Q到点F（1，0）与到直线x=4的距离之比为
.

（1）求点Q的轨迹方程E；

（2）若点
，
分别是轨迹
的左、右顶点，直线
经过点
且垂直于
轴，点
是直线
上不同于点
的任意一点，直线
交轨迹
于点
.

（ⅰ）设直线
的斜率为
直线
的斜率为
，求证：
为定值；

（ⅱ）设过点
垂直于
的直线为
.求证：直线
过定点，并求出定点的坐标.

19. （本小题满分16分）

已知数列
有
，对任意的
，有
.

（1）求
的值； （2）判断数列
是否为等差数列；

（3）对于数列
，假如常数
满足对任意的
*都有
成立，则称
为数列
的“上界”.令
，求证：3是数列
的“上界”.

20. （本小题满分16分）

已知函数
，
为
的导函数，满足
；
有解，但解却不是函数
的极值点.

(1)求
；

(2)设
，m>0，求函数
在[0，m]上的最大值；

(3)设
，若对于一切
，不等式
恒成立，求实数t的取值范围.

数学（Ⅱ）（附加题）(满分40分，考试时间30分钟)

21. 【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分.

.选修
：几何证明选讲

如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE与AC交于点F．

⑴判断B
E是否平分∠ABC，并说明理由；

⑵若AE=6，BE=8，求EF的长．

.选修
：矩阵与变换

已知矩阵A＝ (c、d为实数)，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝，属于特征值1的一个特征向量为α2＝.求矩阵A的逆矩阵．

.选修
：坐标系与参数方程

已知曲线
的极坐标方程是
，直线
的参数方程是
（
为参数）．

（Ⅰ）将曲线
的极坐标方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）设直线
与
轴的交点是
，
是曲线
上一动点，求
的最大值.

.选修
：不等式选讲

已知x、y、z均为正实数，且x＋y＋z＝1.求证： ＋  ＋ ≥.

二、必答题：本大题共2小题.每小题10分，共20分.

22. 某幸运观众参加电视节目抽奖活动，抽奖规则是：在盒子里预先放有大小相同的5个小球，其中一个绿球，两个红球，两个白球．该观众依次从盒子里摸球，每次摸一个球（不放回），若累计摸到两个白球就停止摸球，否则直到将盒子里的球摸完才停止．规定：在球摸停止时，只有摸出红球才获得奖金，奖金数为摸出红球个数的1000倍（单位：元）．

（Ⅰ）求该幸运观众摸三次球就停止
的概率；

（Ⅱ）求该幸运观众获得1000元奖金的概率．

23.已知数列{an}满足：
．

（1）若
，求数列{an}的通项公式；

（2）若
，试证明：对
，an是4的倍数．

无锡市洛社高级中学2014届秋学期阶段检测试卷

高三数学答案

16. （Ⅰ）证明：
连结
，
，

是
，
的中点

．

又

平面
，

平面
………………………………………4分

（Ⅱ）
三棱柱
中，侧棱与底面垂直，

四边形
是正方形．
．
．

连结
，
．

，又
中
的中点，
．

与
相交于点
，

平面
． …………………9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知
是三棱锥

的高．

在直角
中，
，
．

又
．
． ……………14分

∴
，

当且仅当
，即
时取得最小值. ……………15
分

∴ 梯形ABCD的面积最小值为
.
……………16分

19. 解：（1）
，即
； ………………………………………2分

（2）当n=1时，
； ………………
………………………3分

20. (1)
，

∵
，∴函数
的图象关于直线x=1对称，b=-1. ……2分

由题意，
中
，故c=1. ……3分

所以
. ………………………4分

无锡市洛社高级中学2014届秋学期阶段检测试卷

高三数学附加题答案

C. 解：（Ⅰ）曲线
的极坐标方程可化为
. ………………………2分

又
，

所以曲线
的直角坐标方程为
. …………………4分

（Ⅱ）将直线l的参数方程化为直角坐标方程，得
，…………………6分

令
，得
，即
点的坐标为(2，0). 又曲线
为圆，圆
的圆心坐标为(1，0)，

半径
，则
， …………………………………………8分

所以
. …………………………………………………10分

D. 证明：x、y、z均为正实数，由柯西不等式，得

，…6分

∵ x＋y＋z＝1，∴
＋＋≥. …………………………10分