2013～2014学年度第一学期期中考试

高三数学试题（数学Ⅰ）

(考试时间：120分钟 总分160分)

命题人： 金骏 黄萍 审题人： 孟太

注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸相应的答题线上．）

1．集合
，
，则
▲ ．

2．“

”的否定是 ▲ ．

3．函数
的定义域为 ▲ ．

4．函数
的值域为 ▲ ．

5．
▲ ．

6．已知
，则
▲ ．

7．数列
满足
，若
，则
▲ ．

8．设等差数列
前
项和为
，若
，则
▲ ．

9．设
是定义在
上的奇函数,当
时,
(
为自然对数的底数),则
的值为 ▲ ．

10．已知全集
集合
，
，

，若
，则实数
的取值范围是 ▲ ．

11．已知方程
（其中
）有两个相等的实根，则

的最小值为 ▲ ．

12．已知函数
，若
，则
的取值范围是 ▲ ．

13．设
表示正整数
的个位数，例如
，
，则数列
的前
项和等于 ▲ ．

14．如图，
是直线上三点，
是直线外一点，
，
，
，则
＝ ▲ ．

二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）

15．（本题满分14分）

设已知
，
，其中
．

(Ⅰ)若
，且
，求
的值；

(Ⅱ)若
，求
的值．

16．（本题满分14分）

不等式组
表示的平面区域为A．

(Ⅰ)画出平面区域A，并求面积；

(Ⅱ)点
在平面区域内，求
的取值范围；

(Ⅲ)一次函数
的图像平分区域A的面积，求
．

17．（本题满分14分）sj.fjjy.org

已知等差数列
中，
．

(Ⅰ)求数列
的前
项和
的最小值；

(Ⅱ)求数列
的前
项和
．

sj.fjjy.org

18．（本题满分16分）

已知函数
.

(Ⅰ)若
，

(i)求曲线
在点
处的切线方程，

(ii)求
在区间
上的最大值；

(Ⅱ)若当
时，
恒成立，求实数
的取值范围.sj.fjjy.org

19．（本题满分16分）

某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在l上的四边形电气线路，如图所示，为充分利用现有材料，边BC,CD用一根5米长的材料弯折而成，边BA,AD用一根9米长的材料弯折而成，要求
和
互补，且AB=BC．

(Ⅰ)设AB=x米，cosA=
,求
的解析式，并指出x的取值范围；

求四边形ABCD面积的最大值．

20．(本题满分16分)

设
的三边长分别为
，面积为
，已知
，
.

(Ⅰ)求数列
的通项公式；

(Ⅱ)求证：无论
取何正整数，
恒为定值；

(Ⅲ)判断函数
的单调性，并加以说明.

sj.fjjy.org

2013～2014学年度第一学期期中考试

高三数学试题（数学Ⅱ）

(考试时间：30分钟 总分40分)

命题人： 金骏 黄萍 审题人： 孟太

注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．

21．(本题分A、B两题，每题10分)

A．已知二次函数
有两个零点1,2，且在
轴上的截距为3.

(Ⅰ)求函数
的解析式；(Ⅱ)求函数
在区间[0,3]上的值域.

B．在等比数列
中.

(Ⅰ)已知
，求
；(Ⅱ)已知
，求
.

22．(本题10分)

设平面向量
,若存在实数
和角
,其中
，使向量
,且
.

(Ⅰ)求
的关系式;

(Ⅱ)若
,求
的最小值,并求出此时的
值.

23．(本题10分)

已知
.

(Ⅰ)若函数
在区间
上有极值，求实数
的取值范围；

(Ⅱ)若关于
的方程
有实数解，求实数
的取值范围；

(Ⅲ)当
，
时，求证：
.

2013～2014学年度第一学期期中考试

高三数学参考答案

一、填空题：

1.
2.
3.
4.
5. 1 6.
7. 8

8.3 9.
10.
11.
12 .
13.2 14.

二、解答题

15.解：(Ⅰ)∵
，∴
，----------------2分

∴
，∴
，----------------------4分

而
，∴
，∴
，即
，------6分

又
，所以，
---------------------------7分

(Ⅱ)

----------------------10分

∴
，即

∴
-------------------------14分

16.解：(Ⅰ)不等式
表示直线
及直线下方的平面区域；不等式
表示直线
及直线上方的平面区域；不等式
表示直线
及直线左侧的平面区域。所以，这三个平面区域的公共部分，就是原不等式组所表示的平面区域。

-------------------------2分

由图像可得：
--------------------------4分

(Ⅱ)将目标函数变形为
，平移直线
，当它经过
时截距
最大为12；当它经过
时截距
最小为0.所以
的取值范围是
------8分

(Ⅲ)
的图像经过区域A时，
，------------------9分

当
时，
，∴
------11分

当
时，
，∴
（舍）----13分

∴
---------------------------------------------14分

17. 解：（Ⅰ）a1 = –19，5a5 = 11a8，5(a1+4d) = 11(a1+7d)，5a1+20d = 11a1 + 77d，

∴6a1 = –57d，即6×(–19) = –57×d，∴d = 2---------------2分

∴an = –19 + (n-1)×2= 2n – 21--------------------------3分

当an＜0时，2n＜21，n＜
，即当n≤10时，an＜0，当n＞11时，an＞0

∴Sn最小值为S10-------------------------------------6分sj.fjjy.org

S10 = 10×(–19)+
= –100----------------------------7分

（Ⅱ）∵a10＜0，a11＞0

当n≤10时，Tn = –a1–a2……–an= –Sn =–n2+20n------------------10分

当n≥11时，Tn = –a1–a2……–a10+a11+a12+……+an= Sn–2S10= n2–20n+200----13分

–n2+20n n≤10

∴Tn = --------------------------14分

n2–20n+200 n≥11

18. （Ⅰ）（i）f '(x) = 3x2–2ax，f '(1) = 3–2a = 3，∴a = 0，∴y=x3-------------------2分

f(1)=1，f ' (x) = 3x2，f ' (1) = 3，∴切点（1，1），斜率为3，y = 3x–2------------4分

（ii）f(x) = x3，f ' (x) = 3x2≥0，∴f(x)在[0，2]，∴f(x)最大值=f(2)=8-----------8分

（Ⅱ）x3–ax2+x≥0对x∈[0，2]恒成立，∴ax2≤x3+x-------------------10分

当x = 0时成立---------------------------------------12分

当x∈（0，2]时a≤x+
，∵x+
≥2，在x=1处取最小值--------15分

∴a≤2---------------------------------------16分

19. 解：(Ⅰ)在△ABD中，由余弦定理得

。

同理，在△CBD中，
----3分

因为∠A和∠C互补。

所以
=

=
．---5分

即
．

解得
，即
，其中
．------- ------------------8分

(Ⅱ)四边形ABCD的面积

．------11分

记
，
．

由
，

解得：
． ------------------------------------14分

函数
在区间（2，4）内单调递增，在区间（4，5）内单调递减

因此
的最大值为
．

所以S的最大值为
．

答：所求四边形ABCD面积的最大值为
．---------------------------- 16分

20. （Ⅰ）an+1 = an，∴a1=4，∴an=4，∴bn+1=
，
----- 2分

∴
，∴b1–c1=5–3=2，∴{bn–cn}为等比，

∴bn–cn =
-------------------- --------------------------------4分

（Ⅱ）∵bn+1 =
，cn+1=
，∴bn+1+ cn+1 =
----------------6分

bn+1+ cn+1–8=
=
，而b1+c1–8=5+3–8=0，∴bn+cn–8=0

∴bn+cn=8------------------- --------------------------------8分

（Ⅲ）法一：

an = 4

bn–cn =
，∴bn = 4+
，cn =4–
--------------10分

bn+cn=8

令m =
，则an = 4，bn = 4+m，cn = 4–m，∴cosA =

∴sinA =
--------------------------------------12分

f(n) = SABC =
=

=
-------------------------14分

当n增大时，
减小，
增大，∴f(n) 递增-------------------16分

法二：∵BnCn = 4 AnBn+AnCn=8

∴An落在以Bn、Cn为焦点的椭圆上------------10分

∵|bn–cn|=

当n增大时， |bn–cn| 减小，即An点在向椭圆短轴端点靠近，

即BnCn边上的高在增大，则f(n)=
在增大------------14分

∴f(n)递增----------------------------------------16分

姜堰区2013～2014学年度第一学期期中考试

高三数学（Ⅱ）参考答案

21 A.解：（Ⅰ）设f(x)=a(x–1)(x–2)， f(0)=a·2=3，∴a=

∴f(x) =
(x–1)(x–2) ---------------------------------5分

（Ⅱ）f(x)=
(x2–3x+2)，当x=
时，f(x)
=
，当x=0或3时 f(x)
=3

∴值域为[
，3] ---------------------------------10分

B解：（Ⅰ）a1 = 3，a6 = 96，q5 = 32，q = 2，

∴S5 =
=3×31=93 ---------------------------------5分

（Ⅱ）∵a1 =1，an = 81，∴q≠1，∴qn-1 = 81，∴Sn =
=121

∴1–81q=121–121q，∴40q=120，∴q=3------------------10分

22.解: (Ⅰ)∵
,且
，∴

∴
-----------------------5分

(Ⅱ)设
,又∵
，∴
，则

令
得
(舍去)

∴
时
,
时
,∴
时,即
时，

为极小值也是最小值,
最小值为
.--------------------10分

23. 解：(Ⅰ)
，∴

∴当
时，
；当
时，
；

∴函数
在区间（0，1）上为增函数；在区间
为减函数sj.fjjy.org

∴当
时，函数
取得极大值，而函数
在区间
有极值.

∴
，解得
. ----------------------3分

(Ⅱ)由（Ⅰ）得
的极大值为
，令
，所以当
时，函数

取得最小值
，又因为方程
有实数解，那么
，

即
，所以实数
的取值范围是：
. ----------6分

(Ⅲ)
函数
在区间
为减函数，而
，

∴
∴
，即

------8分

即
，而
，

∴
结论成立. ----------------------10分