一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共计60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．已知
，则
（　　）

A．
B．
C．
D．

2. 设是虚数单位，若复数
是纯虚数，则的值为 （　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

3. 已知
，那么
（　　）

A．
B．
C．
D．

4．设
为等差数列
的前项和，
，则
= （　　）

A．
B．
C．
D．2

5．右图是计算
的值的程序框图，其中在判断框中应填入的条件是（ ） A．
B．

C．
D．

6． 将一颗骰子掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为m,第二次出现的点数为n,向量
=(m,n),
=(3,6),则向量
与
共线的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

7.若变量
满足约束条件
，则
的最大值和最小值分别为 （　　）

A．4和3 B．4和2 C．3和2 D．2和0

8．已知几何体的三视图如图所示，可得这个几何体的体积是 ( )

A．4 B．6

C．12 D．18

9. 设
，则 ( )

A.
B.

C.
D.

10. 已知函数
（其中
）的部分图象如下图所示，为了得到
的图象，则只需将
的图象 ( )

A．向右平移
个长度单位

B．向左平移
个长度单位

C．向右平移
个长度单位

D．向左平移
个长度单位

11．双曲线C的左右焦点分别为
，且
恰为抛物线
的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若
是以
为底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为

A．
B．
C．
D．
（　　）

12. 已知函数
，定义函数
给出下列命题：

①
； ②函数
是奇函数；③当
时，若
，
，总有
成立。其中所有正确命题的序号是 （　　）

A．② B．①③ C．②③ D．①②

二．填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分。）

13. 已知向量
。

14．函数f(x)=
的值域为___ ______。

15．观察下列等式：

照此规律, 第n个等式可为____ __ __。

16．四棱锥
的所有顶点都在同一个球面上，底面
是正方形且和球心
在同一平面内，当此四棱锥的体积取得最大值时，它的表面积等于
，则球
的体积等于__ _。

三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）

17．（本小题满分12分）已知函数

(Ⅰ) 求
的值；

(Ⅱ) 求使
成立的x的取值集合。

18.（本小题满分12分）已知等比数列
的各项均为正数，
,
.

(Ⅰ)求数列
的通项公式；

(Ⅱ)设
，求
的前项和
.

19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥
中，
，
，
，平面
底面
，
，和分别是
和
的中点。

(Ⅰ) 求证：
底面
；

(Ⅱ) 求证：
平面
；

(Ⅲ) 若PA=AB=AD=1，求四棱锥
的体积。

20．（本小题满分12分）已知椭圆
的离心率为
,
,
为椭圆
的两个焦点，点在椭圆
上，且
的周长为
.

(Ⅰ)求椭圆
的方程；

(Ⅱ)设直线
与椭圆
相交于、两点，若
(
为坐标原点)，求证:直线
与圆
相切。

21（本小题满分12分）国家环境标准制定的空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表：

空气质量指数

0-50

51-100

101-150

151-200

201-300

300以上



空气质量等级

1级优

2级良

3级轻度污染

4级中度污染

5级重度污染

6级严重污染



由全国重点城市环境监测网获得2月份某五天甲城市和乙城市的空气质量指数，数据用

茎叶图表示如下：

(Ⅰ) 试根据上面的统计数据，判断甲、乙两个城市的空气质量指数的方差的大小关系(只需写出结果)；

(Ⅱ) 试根据上面的统计数据，估计甲城市某一天空气质量等级为2级良的概率；

(Ⅲ) 分别从甲城市和乙城市的统计数据中任取一个，试求这两个城市空气质量等级相同的概率。

(注:
,其中
为数据
的平均数.)

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．（本小题满分10分） 选修4—1：几何证明选讲

如图，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，AB是⊙O2的直径，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，并与BO1的延长线交于点P，PB分别与⊙O1、⊙O2交于C，D两点。

求证：(Ⅰ) PA·PD=PE·PC；

(Ⅱ) AD=AE。

23．（本小题满分10分） 选修4—4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，曲线L：
，过点
（为锐角且
）作平行于
的直线l，且l与曲线L分别交于B，C两点。

(Ⅰ) 以极点为原点，极轴为x的正半轴，取与极坐标相同的单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L和直线l的普通方程；

(Ⅱ) 求
的长。

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式证明选讲

已知函数

(Ⅰ) 当
时，求
的解集；

(Ⅱ) 若关于的不等式
的解集是，求实数的取值范围。



19.解：(I) 因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD =AD，且PA⊥AD，PA 平面PAD，

所以PA垂直底面ABCD。 …………………………………
4＇

(ⅱ)当直线
不垂直于轴时，设直线
的方程为

由
得

故

即
①

又圆
的圆心为
,半径

圆心
到直线
的距离为

②

将①式带入②式得
吗 所以

因此,直线
与圆
相切。 ………………………………… 4＇

又
， ∴

∴
……………………… 6＇

23．解：（Ⅰ）由题意得，点的直角坐标为

曲线L的普通方程为：

直线l的普通方程为：
……………………… 5＇

（Ⅱ）设B（
）C（
）
联立得

由韦达定理得
，

由弦长公式得
……………………… 5＇

24．解：（Ⅰ）不等式的解集为{x|x>3或x<-2}； ……………………… 5＇

（Ⅱ）
……………………… 5＇