辽宁师大附中2014届高三上学期期中考试

数学理试题

一选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)

1设集合A=
,B=
，则A∪B= （? ）

A．
B．

C．
D．

2复数
等于 （ ）

A．
B.
C.
D.

3下列命题错误的是 ( )

A．命题“若
，则
”的逆否命题为“若
，则
”

B．若
为假命题，则
均为假命题;

C．命题
：存在
,使得
，则
：任意
,都有
D．“
”是“
”的充分不必要条件

4已知一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体的表面积为(　　)

A. 24＋6π B. 24＋4π

C. 28＋6π D. 28＋4π

5已知两个不同的平面
、
和两条不重合的直线
，有下列

四个命题

①若
，则
②若

③若
④若

其中正确命题的个数是 ( )

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

6在△ABC中，角A、B均为锐角，且cosA>sinB，则△ABC的形状是 (　 　)

A．直角三角形 B．锐角三角形

C．钝角三角形 D．等腰三角形

7已知
，
是不共线的向量，＝
，＝
，λ，μ∈R，那么A、B、C

三点共线的充要条件为 (　　 )

A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1

C．λμ＝－1 D．λμ＝1

8已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a4＋a5＋a6＝，则cosS9的值为(　 　)

A. B. C．－ D．－

9 若不等式x2＋ax－2>0在区间[1,5]上有解, 则a的取值范围是 (　 　)

A. (－, ＋∞) B. [－, 1]

C. (1, ＋∞) D. (－∞, －]

10设定义在
的函数
同时满足以下条件：①
；②
；

③当
时，
。则
（ ）

A.
B.
C.
D.

11已知函数
的定义域为
，部分对应值如下表，
为
的导函数，函数y=
的图象如右图所示：

x

-2

0

4



f(x)

1

-1

1





若两正数
、
满足
，则
的取值范围是 （ ）[Ks5

A.
B.
C.
D.

12已知圆
与
轴的两个交点为
、
，若圆内的动点
使
、
、
成等比数列，则
的取值范围为 （ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题：(本大题共4小题；每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.)

13. 函数
的定义域是 ．

14. .已知
,
，向量
与
垂直，则实数
的值为 ．

15将函数
的图象向左平移
个单位得到函数
的图象,若
在
上为增函数,则
最大值为__ ___.

16 如图,在三棱锥
中,
、
、
两两垂直,且

．设
是底面
内一点,

定义
,其中
、
、
分别是三棱

锥
、 三棱锥
、三棱锥

的体积．若
,且
恒成立,

则正实数
的最小值为____ ________

三解答题：(本大题共6小题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤)

17（本小题满分10分）

设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cosB＝，b＝2.

(1)当A＝30°时，求a的值；

(2)当△ABC的面积为3时，求a＋c的值．

18（本小题满分12分）

已知向量
，
，

函数

(1) 当x∈时，求f(x)的最大值和最小值；

(2) 求f(x)的单调区间．

19（本小题满分12分）

已知等比数列{an}中，公比q∈(0,1)，a2＋a4＝，a1a5＝，设bn＝nan(n∈N*)．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求数列{bn}的前n项和Sn.

20（本小题满分12分）

已知函数g(x)＝
＋alnx在区间(0,1)上单调递减，求实数a的取值范围．

已知函数
，求
的单调区间；

21（本小题满分12分）

如图，正方形
所在平面与平面四边形
所在平面互相垂直，△
是

等腰直角三角形，

（1）求证：
；

（2）设线段
的中点为
，在直线
上是否存在一点
，使得
？

若存在，请指出点
的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；

（3） 求二面角
的大小。

22（本小题满分12分）

已知：函数
．

（1）求
在[0，1]上的最大值；

（2）若对任意实数
，不等式
恒成立，求实数

的取值范围；

（3）若关于
的方程
在[0，1]上恰有两个不同的实根，

求实数
的取值范围．

2013(2014学年度第一学期高三期中数学(理)试卷答案

辽师附中 田芳;

一选择题: DDBAD;CDDAC;BB.

二填空题: 13)
； 14)
； 15) 2； 16) 1；

三解答题: 17解：(1)因为cosB＝，所以sinB＝.

由正弦定理＝，可得＝.

所以a＝.-------------------------------------5分

(2)因为△ABC的面积S＝acsinB，sinB＝，

所以ac＝3，ac＝10.

由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，

得4＝a2＋c2－ac＝a2＋c2－16，即a2＋c2＝20.

所以(a＋c)2－2ac＝20，(a＋c)2＝40，

所以，a＋c＝2.---------------------------10分

18解：(1)f(x)＝sin2x－cos2x＋1＝2sin＋1.------------------3分

∵≤x≤，∴≤2x≤π，∴≤2x－≤，

∴≤sin≤1，∴1≤2sin≤2，

于是2≤2sin＋1≤3，

∴f(x)的最大值是3，最小值是2.--------------6分

(2)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z得2kπ－≤2x≤2kπ＋，k∈Z，

∴kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， 即f(x)的单调递增区间为，k∈Z，

同理由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z得

f(x)的单调递减区间为，k∈Z.----------12分

19解：(1)由题意知：a2·a4＝a1·a5＝，

联立方程得：.∵q∈(0,1)，∴a2>a4，

∴解方程组得a2＝1，a4＝，∴q＝，a1＝2，

∴an＝2×()n－1＝()n－2.------------------5分

(2)由(1)知：an＝()n－2， 所以bn＝n()n－1.---------------------------------7分

∴Sn＝1×()0＋2×()1＋3×()2＋…＋(n－1)·()n－2＋n()n－1，①

Sn＝1×()1＋2×()2＋…＋(n－2)()n－2＋(n－1)·()n－1＋n()n，②

∴①－②得：Sn＝()0＋()1＋()2＋…＋()n－2＋()n－1－n()n

＝－n()n，

∴Sn＝4－()n－2－n()n－1＝4－(n＋2)()n－1.---------------------12分

20解：(1)∵ g(x)＝x2＋2x＋alnx， 故 g′(x)＝2x＋2＋.---------------2分

∵函数g(x)在(0,1)上单调递减， ∴在区间(0,1)内，

g′(x)＝2x＋2＋＝≤0恒成立，--------------------4分

∴a≤－(2x2＋2x)在(0,1)上恒成立 .

∵－(2x2＋2x)在(0,1)上单调递减，

∴a≤－4为所求．--------------------------------6分

（2）
-----------8分

∵
∴

①当
时，在区间
∴
的单调增区间为
-------9分

②当
时，由

∴
----------12分

21 (Ⅰ)因为△ABE为等腰直角三角形,AB=AE,

所以AE⊥AB.

又因为平面ABEF⊥平面ABCD,AE
平面ABEF,

平面ABEF∩平面ABCD=AB, 所以AE⊥平面ABCD.

所以AE⊥AD.

因此,AD,AB,AE两两垂直,以A为坐标原点,建立 如图所示的直角坐标系------3分

设AB=1, 则AE=1，B（0，1，0），D (1, 0, 0 ) ,

E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ). 因为FA=FE, ∠AEF = 45°,

所以∠AFE= 90°. 从而
.

所以
,
,
.

,
.

所以EF⊥BE, EF⊥BC.

因为BE
平面BCE,BC∩BE=B ,

所以EF⊥平面BCE.-----------------------6分

(Ⅱ)存在点M,当M为AE中点时,PM∥平面BCE.

M ( 0,0,
), P ( 1,
,0 ). 从而
=
,

于是
·
=
·
=0

所以PM⊥FE,又EF⊥平面BCE，直线PM不在平面BCE内，

故PM∥平面BCE. ………………………………9分

(Ⅲ) 设平面BDF的一个法向量为
，并设
=（x,y,z）.

，

则

即

取y=1，则x=1，z=3。从而
。

取平面ABD的一个法向量为
。

。

故二面角F—BD—A的大小为arccos
。……………………………12分

22解： （1）
，令
，得
或
（舍）

当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减，
是函数在
上的最大值---------------------3分

（2）
对
恒成立

若
即
，恒成立

由
得
或

设

依题意知
或
在
上恒成立

都在
上递增

或
，即
或
------------------------------7分

（3）由
知
，

令
，则

当
时，
，于是
在
上递增；当
时，
，于是
在
上递减，而
，

即
在
上恰有两个不同实根等价于

解得
----------12分