辽宁师大附中2014届高三上学期期中考试

数学文试题

一选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)

1.在空间，下列命题正确的是（ ）

A.平行直线的平行投影重合

B.平行于同一直线的两个平面平行

C.垂直于同一平面的两个平面平行

D.垂直于同一平面的两条直线平行

2.已知两条直线
和
互相平行，则
等于( )

A．1或-3 B．-1或3 C．1或3 D． -1或-3

直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F1和上顶点B，该椭圆的离心率为(　　)．

A. 　　B. C. 　　D.

4.设
是两条直线，
是两个平面，则
的一个充分条件是 （　　）

A．
B．

C．
D．

5.过抛物线
的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和

等于5，则这样的直线 （ ）

A．有且仅有一条 B．有且仅有两条

C．有无穷多条 D．不存在

6 .如图，
是圆O的直径，
垂直圆O所在的平面于A，

点C是圆上的任意一点，

图中有（ ）对平面与平面垂直

A．1 B．2 C．3 D． 4

7.过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为(　　)．

　A. B. C. D．2

8.已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

9.已知椭圆＋＝1的上焦点为F，直线x＋y－1＝0和x＋y＋1＝0与椭圆分别相交于点A，B和C，D，则AF＋BF＋CF＋DF＝(　　)．

A．2 B．4 C．4 D．8

10. 已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交C于点B，若＝3，则||＝(　　)．

A. B．2 C. D．3

11.已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为(　　)．

A．－2 B．－ C．1 D．0

12. 棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P1，P2分别是线段AB，BD1(不包括端点)上的动点，且线段P1P2平行于平面A1ADD1，则四面体P1P2AB1的体积的最大值是(　　)

A. B. C. D.

二、填空题：(本大题共4小题；每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.)

13．若双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点坐标是(0，3)，则实数k的值为________．

14．某四棱锥的三视图如图1－3所示，该四棱锥的体积为________．

图1－3

15. 已知
＝2·
，
＝3·
,
＝4·
,…。若
＝8·
（
均为正实数），类比以上等式，可推测
的值，则
＝

16．给出下列四个命题:①若直线
过抛物线
的焦点,且与这条抛物线交于A、B两点,则
的最小值为2;②双曲线
的离心率为
;③若⊙
⊙
,则这两圆恰有2条公切线;④若直线
与直线
互相垂直,则
其中正确命题的序号是______.(把你认为正确命题的序号都填上)

三解答题：(本大题共6小题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤)

17（本小题满分10分）

(1)求经过点P(－3，2)和Q(－6，－7)的双曲线的标准方程；

(2) 已知动圆M经过点A(3，0)，且与直线l：x＝－3相切，求动圆圆心M的轨迹方程．

18（本小题满分12分）已知实数
满足
.

(Ⅰ）求
的取值范围；

(II）当实数
为何值时，不等式
恒成立？

19（本小题满分12分）如图1－4所示，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝2 ，BC＝CD＝2，∠ACB＝∠ACD＝.

(1)求证：BD⊥平面PAC；

(2)若侧棱PC上的点F满足PF＝7FC，求三棱锥P－BDF的体积．

20（本小题满分12分）如图,四棱锥
的底面
为菱形,
,

底面
,
,
为
的中点.

(Ⅰ)求证:
平面
;

(Ⅱ)求三棱锥
的体积
;

(Ⅲ)在侧棱
上是否存在一点
,满足
平面
,若存在,求
的长;若不存在,说明理由.

21（本小题满分12分）设椭圆C：
的左焦点为F，上顶点为A，

过点A作垂直于AF的直线交椭圆C于另外一点P，交x轴正半轴于点Q， 且

⑴求椭圆C的离心率；

⑵若过A、Q、F三点的圆恰好与直线
相切，求椭圆C的方程.

22（本小题满分12分）如图，已知抛物线

的准线为
,焦点为
.⊙M的圆心在
轴的正半轴上,且与
轴相切．过原点
作倾斜角为
的直线
,交
于点
, 交⊙M于另一点
,且
.

（Ⅰ）求⊙M和抛物线
的方程；

（Ⅱ）若
为抛物线
上的动点,求
的最小值；

（Ⅲ）过
上的动点
向⊙M作切线,切点为
,

求证：直线
恒过一个定点,并求该定点的坐标.

高三数学文科期中试卷答案

辽师附中 王红;

一选择题: DADCB;CCCDA;AA

二填空题: 13) -1 ； 14) 3

15) 71； 16) 2 ;3

三解答题:

17(1)设双曲线的标准方程为nx2＋my2＝1(m·n<0)，

又双曲线经过点P(－3，2)和Q(－6，－7)，

所以解得

所以所求的双曲线的标准方程为－＝1.

.(2)设动点M(x，y)，设⊙M与直线l：x＝－3的切点为N，则|MA|＝|MN|，

即动点M到定点A和定直线l：x＝－3的距离相等，所以点M的轨迹是抛物线，且以A(3，0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线，

∴＝3，∴p＝6.

∴圆心M的轨迹方程是y2＝12x。

18（Ⅰ）配方，得圆的标准方程
(1)

再令
(2）

则直线（2）与圆（1）有公共点
，所以圆心
到直线的距离为

，解得
.即
的取值范围是
.

(II）不等式
恒成立
恒成立
，

由（Ⅰ）得
，所以
.

19．解：(1)证明：因为BC＝CD，即△BCD为等腰三角形，又∠ACB＝∠ACD，故BD⊥AC.

因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD，从而BD与平面PAC内两条相交直线PA，AC都垂直，所以BD⊥平面PAC.

(2)三棱锥P－BCD的底面BCD的面积S△BCD＝BC·CD·sin∠BCD＝·2·2·sin＝.

由PA⊥底面ABCD，得

VP－BCD＝·S△BCD·PA＝××2 ＝2.

由PF＝7FC，得三棱锥F－BCD的高为PA，故VF－BCD＝·S△BCD·PA＝×××2 ＝，

所以VP－BDF＝VP－BCD－VF－BCD＝2－＝.

20.(Ⅰ)证明:设
、
相交于点
,连结
,

底面
为菱形,
为
的中点,

又

为
的中点,

又

平面
,
平面
,

平面

(Ⅱ)解:因为底面
为菱形,
,所以
是边长为
正三角形,

又因为

底面
,所以
为三棱锥
的高,

(Ⅲ)解:因为

底面
,所以
,

又
底面
为菱形,
,

,
平面
,
平面
,

平面
,

在
内,易求
,
,

在平面
内,作
,垂足为
,

设
,则有
,解得

连结
,
,
,
,
平面
,

平面
,
平面
.

所以满足条件的点
存在,此时
的长为

21、解：⑴设Q（x0，0），由F（-c，0）A（0，b）知

设
，得

因为点P在椭圆上，所以

整理得2b2=3ac，即2(a2－c2)=3ac，
,故椭圆的离心率e=
．

⑵由⑴知
，

于是F（－
a，0）， Q

△AQF的外接圆圆心为（
a，0），半径r=
|FQ|=a

所以
，解得a=2，∴c=1，b=
，

所求椭圆方程为
．

22.因为
,即
,所以抛物线C的方程为
.

设⊙M的半径为
,则
,所以
的方程为
………4分

（Ⅱ）设
,则
=

所以当
时,
有最小值为2

（Ⅲ）以点Q这圆心,QS为半径作⊙Q,则线段ST即为⊙Q与⊙M的公共弦