抚州一中2014届高三上学期第四次同步考试

理科数学

总分：150分 考试时间：120分钟

一．选择题：本大题共10题，每小题5分，共50分．

已知集合
，
，则
为（ ）

A．
B.
C.
D.

等差数列
中，如果
，
，则数列
前9项的和为等 ( )

A. 297 B. 144 C. 99 D. 66

已知
,
满足约束条件
,若
的最小值为
,则
（　　）

A．
B．
C．
D．

下列有关命题的说法正确的是 ( )

A．命题“若
则
”的逆否命题为真命题.

B．函数
的定义域为
.

C．命题“
使得
”的否定是：“
均有
” .

D．“
”是“直线
与
垂直”的必要不充分条件.

已知等比数列
的首项
公比
，则
( )

A.50 B.35 C.55 D.46

若sin2x、sinx分别是sinθ与cosθ的等差中项和等比中项，则cos2x的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

函数
的图象只可能是（ ）

若
是
的重心，
分别是角
的对边，若

则角
（ ） A、
B、
C、
D、

已知函数
上有两个零点
,则
的值为（　　）

A．
B．
C．
D．

已知
的最大值为（ ）

A.
B.
C.
D.

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

若
，
，
，则
的值为

已知实数
满足
，则
的最大值为 .

设函数
的定义域为R，且
是以3为周期的奇函数，
,
,
,且
，则实数
的取值范围是 .

已知函数
，函数
，若存在
，使得
成立，则实数
的取值范围是

设集合
，如果
满足：对任意
，都存在
,使得
，那么称
为集合
的一个聚点，则在下列集合中：（1）
；（2）
;(3)
;(4)
，以
为聚点的集合有 （写出所有你认为正确的结论的序号）．

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

已知函数
．

（1）当
时，求函数
的定义域；

（2）若关于
的不等式
的解集是
，求
的取值范围．

已知正项数列
的前
项和为
，
是
与
的等比中项.

（1）若
，且
，求数列
的通项公式；

（2）在（Ⅱ）的条件下，若
，求数列
的前
项和
.

设
的内角
所对的边长分别为
,且满足

（1）求角
的大小；

（2） 若
，
边上的中线
的长为
，求
的面积．

设函数
，若
在点
处的切线斜率为
．

（Ⅰ）用
表示
；

（Ⅱ）设
，若
对定义域内的
恒成立，求实数
的取值范围；

已知函数
和点
，过点
作曲线
的两条切线
、
，切点分别为
、
．

（Ⅰ）设
，试求函数
的表达式；

（Ⅱ）是否存在
，使得
、
与
三点共线．若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．

（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数
，在区间
内总存在
个实数
，
，使得不等式
成立，求
的最大值．

下面四个图案，都是由小正三角形构成，设第
个图形中有
个正三角形中所有小正三角形边上黑点的总数为
.

图1 图2 图3 图4

（1）求出
,
,
,
;

（2）找出
与
的关系，并求出
的表达式；

（3）求证：
(
).

参考答案与解析

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

A

C

A

A

C

A

C

D

D

A



11.
12.
13.
14.
15. （2）（3）

10. 【答案】A

【解析】
，因为
，所以
，所以
，当且仅当
时取等号。所以当
时，
有最大值为
，选A.

14.【答案】

【解析】当
时,
,又当
时,
,有
,因
,有
,要条件成立,就要
或
,即
或
,故

15.【答案】（2）（3）

【解析】试题分析：（1）对于某个a＜1，比如a=0.5，此时对任意的x∈Z+∪Z-，都有|x-0|=0或者|x-0|≥1，也就是说不可能0＜|x-0|＜0.5，从而0不是Z+∪Z-的聚点；

（2）集合{x|x∈R，x≠0}，对任意的a，都存在x=
（实际上任意比a小得数都可以），使得0＜|x|=
＜a，∴0是集合{x|x∈R，x≠0}的聚点；

（3）集合
中的元素是极限为0的数列，对于任意的a＞0，存在n＞
，使0＜|x|=
＜a，∴0是集合
的聚点．

（4）集合
中的元素是极限为1的数列，除了第一项0

之外，其余的都至少比0大
，∴在a＜
的时候，不存在满足得0＜|x|＜a的x，

∴0不是集合
的聚点．

故答案为（2）（3）．

考点：新定义问题，集合元素的性质，数列的性质。

点评：中档题，理解新定义是正确解题的关键之一，能正确认识集合中元素---数列的特征，是正确解题的又一关键。

16. （Ⅰ）由题设知：
，不等式的解集是以下不等式组解集的并集：

，或
，或

解得函数
的定义域为
；

（Ⅱ）不等式
即
，

时，恒有
，

不等式
解集是R，
的取值范围是

17.解：（Ⅰ）
即
-

当
时，
，∴

当
时，

∴

即

∵
∴
,∴数列
是等差数列

由
得

∴数列
是以2为公比的等比数列

∴

∴

（Ⅱ）

∴
①

两边同乘以
得
②

①-②得

18.解:(1)因为
,由余弦定理有

故有
,又

即：
…………………5分

（2）由正弦定理：
…………………6分

可知：

…………………9分

，设
………………10分

由余弦定理可知：
…………………11分

……………………12分

19.解：（Ⅰ）
，依题意有：
；

（Ⅱ）
恒成立．

由
恒成立，即
．

，

①当
时，
，
，
，
单调递减，当
，
，
单调递增，则
，不符题意；

②当
时，

，

（1）若
，
，
，
，
单调递减；当
，
，
单调递增，则
，不符题意；

（2）若
，

若
，
，
，
，
单调递减，

这时
，不符题意；

若
，
，
，
，
单调递减，这时
，不符题意；

若
，
，
，
，
单调递增；当
，
，
单调递减，则
，符合题意；

综上，得
恒成立，实数
的取值范围为
．

20.【答案】（Ⅰ）函数
的表达式为
．

（Ⅱ）存在
，使得点
、
与
三点共线，且
．

（Ⅲ）
的最大值为
．

【解析】试题分析：（Ⅰ）设
、
两点的横坐标分别为
、
，

，

∴切线
的方程为：
，

又
切线
过点
，

有
，即
， （1）

同理，由切线
也过点
，得
．（2）

由（1）、（2），可得
是方程
的两根，

（ * ）

，

把（ * ）式代入,得
,

因此，函数
的表达式为
．

（Ⅱ）当点
、
与
共线时，
，

＝
，即
＝
，

化简，得
，

，
． （3）

把（*）式代入（3），解得
．

存在
，使得点
、
与
三点共线，且
．

（Ⅲ）解法
：易知
在区间
上为增函数，

，

则
．

依题意，不等式
对一切的正整数
恒成立，

，

即
对一切的正整数
恒成立．

，

，

．由于
为正整数，
．

又当
时，存在
，
，对所有的
满足条件．

因此，
的最大值为
．

解法
：依题意，当区间
的长度最小时，

得到的
最大值，即是所求值．

，
长度最小的区间为

当

时，与解法
相同分析，得
，

解得
．后面解题步骤与解法
相同（略）．

21.（1）12,27,48,75.

（2）
，
．

（3）利用“放缩法”。
．

【解析】试题分析：（1）由题意有

，
，
，

，
．

（2）由题意及（1）知，
，

即
，所以
，

，
，

， 5分

将上面
个式子相加，得：

6分

又
，所以
． 7分

（3）

∴
． 9分

当
时，
，原不等式成立． 10分

当
时，
，原不等式成立． 11分

当
时，

， 原不等式成立． 13分

综上所述，对于任意
，原不等式成立． 14分