中山一中2014届高三级第二次统测

文科数学试题

（时间：120分钟 满分150分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．设复数
，
，则复数
在复平面内对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．已知向量
＝（4，2），
＝（6，
），且
∥
，则
等于（ ）

A．3 B．
C．12 D．

3．某学校有体育特长生25人，美术特长生35人，音乐特长生40人．

用分层抽样的方法从中抽取40人，则抽取的体育特长生、美术特长生、

音乐特长生的人数分别为（ ）

A．8，14，18 B．9，13，18

C．10，14，16 D．9，14，17

4．给出右侧的程序框图，输出的数是（ ）

A．2450 B．2550 C．5050 D．4900

5．若
、
为空间两条不同的直线，
、
为空间两个不同的平面，

则
的一个充分条件是（　　）

A．
且
B．
且

C．
且
D．
且

6．函数
的图象（ ）

A．关于原点对称 B．关于直线
对称

C．关于
轴对称 D．关于
轴对称

7．数列
中，已知对任意正整数
，
，则

等于（ ）

A．(2n－1)2 B．
(2n－1) C．
(4n－1) D．4n－1

8．已知
，则直线

与坐标轴围成的三角形面积是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

9．球的表面积扩大到原来的2倍，则球的半径扩大到原来的 倍，球的体积扩大到原来的 倍．

A．
，
B．
，
C．
，
D．
，

10．若
是
上的减函数，且
的图象过点
和
，则不等式
的解集是（ ）

A．
B．
C．（0，3） D．（1，4）

二、填空题：本大共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分）

（一）必做题（11～13题）

11．已知椭圆上一点
到两个焦点之间距离的和为
，其中一个焦点的坐标为
，则椭圆的离心率为_____________．

12．若
满足约束条件
则目标函数
的最大值是 ．

13．在
中，角
的对边分别为
，若
，
，
的面积
，则
边长为 ．

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程）在极坐标中，已知点
为方程
所表示的曲线上一动点，点
的坐标为
，则
的最小值为____________．

15．（几何证明选讲）如图，以
为直径的圆与

的两边分别交于
两点，
，则

．

三、解答题（共80分．解答题应写出推理、演算步骤）

16．（本小题满分12分）

已知
，
，
三点．

（1）求向量
和向量
的坐标；

（2）设
，求
的最小正周期；

（3）求
的单调递减区间．

17．（本小题满分12分）

设关于
的一元二次方程
．

（1）若
是从
四个数中任取的一个数，
是从
三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

（2）若
是从区间
任取的一个数，
是从区间
任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

18．（本小题满分14分）

如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠PDA=45°，点E、F分别为棱AB、PD的中点．

（1）求证：AF∥平面PCE；

（2）求证：平面PCE⊥平面PCD；

（3）求三棱锥C－BEP的体积．

19．（本小题满分14分）

数列
的前
项和记为
，
，
．

（1）求数列
的通项公式；

（2）等差数列
的前
项和
有最大值，且
，又
成等比数列，求
．

20．（本小题满分14分）

已知椭圆

，
是其左右焦点，离心率为
，且经过点

（1）求椭圆
的标准方程；

（2）若
分别是椭圆长轴的左右端点，
为椭圆上动点，设直线

斜率为
，且
，求直线
斜率的取值范围；

（3）若
为椭圆上动点，求
的最小值．

21．（本小题满分14分）

已知
在区间
上是增函数．

（1） 求实数a的值组成的集合
；

（2） 设关于x的方程
的两个非零实根为
．试问：是否存在实数
，使得不等式
对任意
及
恒成立？若存在，求
的取值范围；若不存在，请说明理由．

中山一中2014届高三第三次统测

文科数学参考答案

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

B

A

C

A

D

D

C

B

A

B



二、填空题：

11．
； 12． 14； 13．5； 14．
； 15．

三、解答题：

16．解：（1）
=
，
，
=
，
……2分

（2）

=
………4分

=

=
……………………………6分

=
=
……………8分

∴
的最小正周期
． …………………………………9分

（3）∵
，
∈Z，

∴
，
∈Z．

∴
的单调递减区间是
（
∈Z）． ………12分

17．解：设事件
为“方程
有实根”．

当
，
时，方程
有实根的充要条件为
．…2分

（1）基本事件共12个：

．

其中第一个数表示
的取值，第二个数表示
的取值．…………………………4分

事件
中包含9个基本事件，………………………………………………5分

事件
发生的概率为
．…………………………7分

（2）试验的全部结束所构成的区域为
．……9分

构成事件
的区域为
．……10分

所以所求的概率为
．………………………………12分

18．证明：（1）取PC的中点G，连结FG、EG，

∴FG为△CDP的中位线， ∴FG
CD，

∵四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，

∴AE
CD， ∴FG
AE，

∴四边形AEGF是平行四边形， ∴AF∥EG，

又EG
平面PCE，AF
平面PCE，

∴AF∥平面PCE；……………………………… 4分

（2）∵ PA⊥底面ABCD，

∴PA⊥AD，PA⊥CD，又AD⊥CD，PA
AD=A，

∴CD⊥平面ADP， 又AF
平面ADP，

∴CD⊥AF，…………………………………………… 6分

直角三角形PAD中，∠PDA=45°，

∴△PAD为等腰直角三角形，∴PA＝AD=2， ………………………………… 7分

∵F是PD的中点，

∴AF⊥PD，又CD
PD=D，

∴AF⊥平面PCD，………………………………………………………………… 8分

∵AF∥EG， ∴EG⊥平面PCD，……………………………………………… 9分

又EG
平面PCE，

平面PCE⊥平面PCD；………………………………………………………… 10分

（3）三棱锥C－BEP即为三棱锥P－BCE，………………………………… 11分

PA是三棱锥P－BCE的高，

Rt△BCE中，BE=1，BC=2，

∴三棱锥C－BEP的体积

V三棱锥C－BEP=V三棱锥P－BCE=
… 14分

19．解（1）由
，可得
，

两式相减得
， ………………………………2分

又
∴
， ………………………………………………4分

故
是首项为1，公比为3的等比数列，

∴
． ……………………………………………………………………6分

（2）设
的公差为
，

由
得
，于是
， …………………………………8分

故可设
，

又
，

由题意可得
，………………………………10分

解得
，

∵等差数列
的前
项和
有最大值，

∴
， …………………………………………………………12分

∴
． ………………………………14分

20．解（1）
，
…………3分

（2）设
的斜率为
，

则
，
………………………………5分

∴
＝
及
…………………………………………6分

则
＝
＝
又
…………………………………………7分

∴
，故
斜率的取值范围为（
） ………………………8分

（3）设椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距分别为a,b,c,则有

,

由椭圆定义，有
………9分

＝
………………10分

＝
………………11分

≥
……………………………12分

＝
＝
………………………………………13分

∴
的最小值为
。

（当且仅当
时，即
取椭圆上下顶点时，
取得最小值）

……………………………………………………………………14分

21．解（1）因为
在区间
上是增函数，

所以，
在区间
上恒成立，…………（2分）

所以，实数a的值组成的集合
．………………（5分）

（2）由
得
即

因为方程
即
的两个非零实根为

两个非零实根，于是
，
，

，

………………（8分）

设

则
，………………（11分）

若
对任意
及
恒成立，

则
，解得
，……………（13分）

因此，存在实数
，使得不等式
对任意
及
恒成立．………………………………………………（14分）